Геометрия на экзамене GRE — одна из самых предсказуемых тем Quantitative Reasoning. Большинство фигур и формул знакомы еще со школы, однако сложность GRE заключается в другом: экзамен проверяет умение быстро анализировать рисунки, замечать скрытые свойства фигур и избегать типичных ловушек.

В этой статье разберем все основные темы GRE Geometry: углы, треугольники, многоугольники, окружности, координатную геометрию и объемные фигуры. Также рассмотрим стратегии решения задач и ошибки, которые чаще всего допускают студенты.

---

Что нужно знать по Geometry для GRE

На GRE чаще всего встречаются задачи на:

• линии и углы;
• треугольники;
• четырехугольники;
• окружности;
• площадь и периметр;
• объемные фигуры;
• координатную геометрию;
• свойства параллельных линий.

Важно понимать: GRE почти никогда не требует сложных доказательств. Экзамен проверяет скорость применения базовых свойств и формул.

---

Линии и углы на GRE (Lines and Angles)

Большая часть геометрии GRE строится именно на углах.

---

Типы углов

На экзамене необходимо уверенно различать:

• острые углы — меньше 90°;
• прямые углы — ровно 90°;
• тупые углы — больше 90°, но меньше 180°.

Важное правило GRE

Угол не может быть:

• 0°;
• 180°.

Все углы на GRE положительные.

---

Вертикальные и смежные углы

Вертикальные углы

Вертикальные углы всегда равны.

Если две прямые пересекаются, противоположные углы имеют одинаковую величину.

---

Смежные углы

Смежные углы образуют прямую линию.

x+y=180∘x+y=180^\circx+y=180∘

---

Комплиментарные углы

Комплиментарные углы в сумме дают 90°.

x+y=90∘x+y=90^\circx+y=90∘

---

Параллельные линии на GRE

Если секущая пересекает две параллельные линии, образуются группы равных углов.

Важно помнить:

• соответствующие углы равны;
• накрест лежащие углы равны;
• внутренние односторонние углы дают 180°.

Частая ловушка GRE

Никогда не предполагайте, что линии параллельны, если это прямо не указано в условии или не обозначено символом ∥.

---

Многоугольники (Polygons)

Многоугольник — это замкнутая фигура, состоящая из отрезков.

На GRE чаще всего встречаются:

• треугольники;
• четырехугольники;
• правильные многоугольники.

---

Сумма внутренних углов многоугольника

Главная формула:

(n−2)×180∘

Где:

• n — количество сторон.

---

Пример

Для пятиугольника:

(5 − 2) × 180 = 540°

---

Правильные многоугольники

В правильном многоугольнике:

• все стороны равны;
• все углы равны.

Чтобы найти один внутренний угол:

1. Найдите сумму всех углов;
2. Разделите на количество углов.

---

Треугольники на GRE (Triangles)

Треугольники — самая важная тема геометрии GRE.

---

Сумма углов треугольника

a+b+c=180

Типы треугольников

Равносторонний треугольник

• все стороны равны;
• все углы по 60°.

---

Равнобедренный треугольник

• две стороны равны;
• углы при основании равны.

---

Прямоугольный треугольник

Один угол равен 90°.

---

Неравенство треугольника

Одно из самых важных правил GRE:

Сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

$a+b>c$

---

Связь сторон и углов

• Самая длинная сторона лежит напротив самого большого угла;
• Самая короткая сторона — напротив самого маленького угла.

---

Площадь треугольника

Основная формула:

A=1/2(​bh)

Где:

• b — основание;
• h — высота.

---

Равносторонний треугольник

Специальная формула площади:

A=s234A=\frac{s^2\sqrt{3}}{4}A=4s23​​

---

Теорема Пифагора

Для прямоугольных треугольников:

a2+b2=c2

Специальные прямоугольные треугольники

GRE очень любит стандартные соотношения сторон.

---

Треугольник 45-45-90

Соотношение сторон:

s:s:s2s:s:s\sqrt{2}s:s:s2​

---

Треугольник 30-60-90

Соотношение сторон:

s:s3:2ss:s\sqrt{3}:2ss:s3​:2s

---

Часто встречающиеся пифагоровы тройки

Запомните:

• 3 : 4 : 5
• 5 : 12 : 13

Это помогает экономить время на вычислениях.

---

Четырехугольники на GRE (Quadrilaterals)

Сумма внутренних углов любого четырехугольника:

360∘360^\circ360∘

---

Прямоугольник

Площадь:

$A=l\times w$

---

Квадрат

Площадь квадрата:

A=s2A=s^2A=s2

---

Параллелограмм

Площадь параллелограмма:

$A=bh$

Важно:

Высота — это перпендикуляр между основаниями, а не длина боковой стороны.

---

Трапеция

Площадь трапеции:

A=(b1+b2)2hA=\frac{(b_1+b_2)}{2}hA=2(b1​+b2​)​h

---

Окружности на GRE (Circles)

Тема окружностей регулярно появляется на экзамене.

---

Основные элементы окружности

Радиус

Отрезок от центра до окружности.

---

Диаметр

Диаметр равен двум радиусам.

$d=2r$

---

Хорда

Хорда соединяет две точки окружности.

Самая длинная хорда — диаметр.

---

Касательная

Касательная касается окружности в одной точке.

Радиус к точке касания всегда перпендикулярен касательной.

---

Длина окружности

C=2πr

Площадь круга