Координатная плоскость

Эта тема является частью раздела о координатной плоскости в Quant GMAT Focus.

Координатная геометрия — одна из самых элегантных идей во всей математике. Координатную плоскость также называют XY-плоскостью, декартовой плоскостью или прямоугольной системой координат. Название «декартова» дано в честь французского математика Рене Декарта, который и предложил эту идею.

Как устроена координатная плоскость

Гениальная идея Декарта заключалась в следующем: взять две числовые прямые и расположить их под прямым углом друг к другу.

Каждая числовая прямая:

• содержит целые числа,

   

• дроби,

   

• десятичные числа,

   

• продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях.

   

Таким образом, координатная плоскость — это просто две пересекающиеся числовые прямые.

• Горизонтальная числовая прямая называется ось X.

   

• Вертикальная числовая прямая называется ось Y.

   

Обе оси:

• содержат положительные и отрицательные целые числа,

   

• положительные и отрицательные дроби и десятичные числа,

   

• продолжаются бесконечно.

   

Точка, где оси пересекаются в значении 0 на каждой оси, называется началом координат (origin). Она считается центром всей координатной плоскости.

Координаты точки и упорядоченная пара

Координатная плоскость позволяет однозначно задавать положение любой точки с помощью двух чисел — координат X и Y.

Рассмотрим пример. Пусть точка:

• находится вертикально над значением x = 5,

   

• и лежит на горизонтальной линии y = 4.

   

Тогда:

• x-координата равна 5,

   

• y-координата равна 4.

   

Положение точки записывается в виде упорядоченной пары (5, 4).

Важно помнить:

• сначала всегда записывается x-координата,

   

• затем y-координата,

   

• порядок соответствует алфавиту: X, затем Y.

   

Уникальность координат

Каждая из бесконечного числа точек на плоскости имеет уникальную упорядоченную пару (x, y), которая точно определяет её положение.

Это фундаментальный факт:

• любой точке соответствует ровно одна пара координат,

   

• по любой упорядоченной паре можно восстановить точное положение точки на плоскости.

   

На экзамене GMAT это означает, что:

• по координатам нужно уметь находить точку,

   

• по изображению точки — определять её координаты.

   

Это обязательный базовый навык.

Пример: определение координат точки

Рассмотрим простую тренировочную задачу.

Допустим, точка находится:

• слева от оси Y,

   

• и выше оси X.

   

Это означает:

• x-координата отрицательная,

   

• y-координата положительная.

   

Считаем:

• по оси X: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 влево → x = −7,

   

• по оси Y: 1, 2, 3, 4 вверх → y = 4.

   

Координаты точки: (−7, 4).
Это и есть уникальная упорядоченная пара, задающая положение этой точки.

Квадранты координатной плоскости

Оси X и Y делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Квадранты нумеруются по часовой стрелке, начиная с верхнего правого:

• I квадрант

   

• II квадрант

   

• III квадрант

   

• IV квадрант

   

Обычно они обозначаются римскими цифрами.

Зная квадрант точки, мы сразу знаем знаки её координат:

• I квадрант: x положительный, y положительный

   

• II квадрант: x отрицательный, y положительный

   

• III квадрант: x отрицательный, y отрицательный

   

• IV квадрант: x положительный, y отрицательный

   

Важно:
Точки, лежащие на оси X, на оси Y или в начале координат, не принадлежат ни одному квадранту. Квадранты определяются только для точек, находящихся вне осей.

Пример задачи уровня GMAT

Условие:
Точка M — середина отрезка AB.
Точка A имеет координаты (2, −3).
Точка M лежит на отрицательной оси X.
В каком квадранте находится точка B?

Решение (логика рассуждений):

• Точка M расположена на отрицательной части оси X.

   

• Мы можем выбрать любое положение M на этой оси.

   

• Так как M — середина отрезка AB, точка B должна располагаться симметрично относительно M по отношению к A.

   

• При любом выборе M на отрицательной оси X точка B оказывается:

   

  • левее оси Y,

     

  • выше оси X.

     

Следовательно, точка B всегда находится во втором квадранте.

Ответ: II квадрант.

Выводы и ключевые идеи

Для задач GMAT Quant необходимо уверенно знать и понимать:

• что такое начало координат,

   

• что такое ось X и ось Y,

   

• что означают x-координата и y-координата,

   

• как читать и записывать упорядоченные пары,

   

• что каждая точка плоскости имеет уникальные координаты,

   

• как оси делят плоскость на четыре квадранта,

   

• как квадрант определяет знаки координат точки.

   

Экзамен регулярно проверяет понимание квадрантов, знаков координат и умение визуализировать положение точек на координатной плоскости.

Рассмотрим далее построение графиков прямых.