Уравнения с квадратными корнями

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

Иногда в GMAT Quant встречаются уравнения, содержащие квадратный корень, где переменная стоит под радикалом. Например:

• √(x + 3) = x − 3
  
  

Именно такие уравнения мы разбираем в этом уроке.

1. Базовая идея решения

Чтобы «убрать» квадратный корень, мы возводим обе части уравнения в квадрат. Это всегда допустимая операция.

Простейший пример

• √(x + 2) = 3
  
  

Возводим в квадрат:

• x + 2 = 9
  
  
• x = 7
  
  

Это корректное решение, но такие «идеальные» примеры редко встречаются на тесте.

2. Важное предупреждение: квадратный корень не всегда «отменяет» квадрат

Не всегда верно, что:

• √(k²) = k
  
  

Это верно только при k ≥ 0.

Пример:

• k = −4
  
  
• k² = 16
  
  
• √16 = 4 ≠ −4
  
  

Вывод: извлечение квадратного корня теряет знак, и именно из-за этого в уравнениях с радикалами появляются посторонние (extraneous) корни.

3. Посторонние корни: ключевая идея

При решении уравнений с квадратными корнями:

• вы можете выполнить всю алгебру абсолютно правильно,
  
  
• но всё равно получить ответы, которые не подходят исходному уравнению.
  
  

Такие ответы называются посторонними корнями.

Поэтому:

Любое уравнение с радикалом обязательно требует проверки найденных решений.

4. Пример с одним радикалом

Решим уравнение:

• √(x + 3) = x − 3
  
  

Шаг 1. Возводим обе части в квадрат

• x + 3 = (x − 3)²
  
  
• x + 3 = x² − 6x + 9
  
  

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону

• 0 = x² − 7x + 6
  
  

Шаг 3. Факторизация

• (x − 1)(x − 6) = 0
  
  

Алгебра даёт два решения:

• x = 1
  
  
• x = 6
  
  

Шаг 4. Проверка решений

Проверка x = 1

• левая часть: √(1 + 3) = √4 = 2
  
  
• правая часть: 1 − 3 = −2
  
  

2 ≠ −2 → не подходит (посторонний корень)

Проверка x = 6

• левая часть: √(6 + 3) = √9 = 3
  
  
• правая часть: 6 − 3 = 3
  
  

3 = 3 → подходит

Итог

Единственное решение:

• x = 6
  
  

5. Пример с радикалами по обе стороны

Рассмотрим:

• √(2x − 2) = √(x − 4)
  
  

Шаг 1. Возводим в квадрат

• 2x − 2 = x − 4
  
  

Шаг 2. Решаем

• x = −2
  
  

Шаг 3. Проверка

Подставляем x = −2:

• 2x − 2 = −6
  
  
• x − 4 = −6
  
  

Обе части — квадратный корень из отрицательного числа, что недопустимо в рамках GMAT.

Итог

• решений нет
  
  
• найденное значение — посторонний корень
  
  

6. Когда радикал НЕ одинок: изоляция перед возведением в квадрат

Возводить в квадрат можно только тогда, когда радикал стоит сам по себе в одной части уравнения.

Пример

• 2 + √(4 − 3x) = x
  
  

Шаг 1. Изолируем радикал

• √(4 − 3x) = x − 2
  
  

Шаг 2. Возводим в квадрат

• 4 − 3x = (x − 2)²
  
  
• 4 − 3x = x² − 4x + 4
  
  

Шаг 3. Упрощаем

• x² − x = 0
  
  
• x(x − 1) = 0
  
  

Алгебра даёт:

• x = 0
  
  
• x = 1
  
  

Шаг 4. Проверка

x = 0

• левая часть: 2 + √4 = 4
  
  
• правая часть: 0
  → не подходит
  
  

x = 1

• левая часть: 2 + √1 = 3
  
  
• правая часть: 1
  → не подходит
  
  

Итог

• уравнение не имеет решений
  
  
• оба корня — посторонние
  
  

7. Итоговые правила для GMAT

1. Чтобы убрать радикал, возводим обе части уравнения в квадрат
   
   
2. Если рядом с радикалом есть другие слагаемые — сначала изолируем радикал
   
   
3. Возведение в квадрат порождает посторонние корни
   
   
4. Каждое найденное решение обязательно проверяем в исходном уравнении
   
   
5. Возможны три исхода:
   
   
   • одно корректное решение
     
     
   • два корректных решения
     
     
   • нет решений вовсе
     
     

Понимание посторонних корней — критически важный навык для уверенного решения уравнений с квадратными корнями в GMAT Quant.

Рассмотрим далее дробные показатели степени.