Факторизация и упрощение рациональных выражений

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В этом уроке мы разберём рациональные выражения — важную и часто проверяемую тему в GMAT / GRE Quant.

Что такое рациональное выражение

Рациональное выражение — это дробь, в которой и числитель, и знаменатель являются алгебраическими выражениями.

Пример:
(x − 3) / (x + 2)

На экзамене чаще всего встречаются рациональные выражения, которые можно и нужно упростить.

Основной принцип упрощения

Чтобы упростить рациональное выражение, необходимо:

1. Разложить на множители числитель
   
   
2. Разложить на множители знаменатель
   
   
3. Сократить общие множители
   
   

Это абсолютно ключевой навык для Quant.

Пример 1: сокращение общих множителей

Упростить выражение:

(x в квадрате + 4x − 21) / (x − 3) в квадрате

Шаг 1. Факторизация

Числитель — обычный квадратный трёхчлен:

x в квадрате + 4x − 21 = (x − 3)(x + 7)

Знаменатель:

(x − 3) в квадрате = (x − 3)(x − 3)

Шаг 2. Сокращение

Сокращаем общий множитель (x − 3):

Результат:
(x + 7) / (x − 3)

Это и есть упрощённая форма исходного выражения.

Пример 2: GCF + разность квадратов

Рассмотрим более сложное выражение:

(2x в квадрате − 8) / (x в квадрате − 9x + 14)

Шаг 1. Факторизация числителя

2x в квадрате − 8 = 2(x в квадрате − 4)
x в квадрате − 4 — разность квадратов:

x в квадрате − 4 = (x − 2)(x + 2)

Числитель:
2(x − 2)(x + 2)

Шаг 2. Факторизация знаменателя

x в квадрате − 9x + 14 = (x − 7)(x − 2)

Шаг 3. Сокращение

Сокращаем (x − 2):

Итог:
2(x + 2) / (x − 7)

Важный приём: разбиение числителя

Иногда факторизация невозможна напрямую, например из-за разных переменных.

Рассмотрим выражение:

(y в квадрате + 2x − 8) / (x − 4)

Здесь:

• y и x — разные переменные
  
  
• общий множитель отсутствует
  
  

Шаг 1. Разбиваем числитель

Мы можем разделять дробь по сложению и вычитанию в числителе:

y в квадрате / (x − 4) + (2x − 8) / (x − 4)

Шаг 2. Упрощаем вторую дробь

2x − 8 = 2(x − 4)

(2(x − 4)) / (x − 4) = 2

Итог

y в квадрате / (x − 4) + 2

Это эквивалентное, но более простое выражение.

Экзаменационный пример 1: упрощение перед решением

Решить уравнение:

22(x + 15) / (x + 15) = x − 3

Ошибка большинства

Перемножить всё крест-накрест → получить громоздкое квадратное уравнение.

Правильный подход (GMAT-style)

Шаг 1. Сокращение

Сокращаем (x + 15):

22 = x − 3

Шаг 2. Решение

x = 25

Мораль: если можно сократить — всегда сокращай до решения.

Экзаменационный пример 2: комбинированный подход

Дано:

(3Q + 4P − 4R) / (P − R) = 19

Шаг 1. Перегруппировка числителя

Разделим числитель на две части:

3Q / (P − R) + (4P − 4R) / (P − R)

Шаг 2. Факторизация второй части

4P − 4R = 4(P − R)

(4(P − R)) / (P − R) = 4

Шаг 3. Упрощение

3Q / (P − R) + 4 = 19

Вычитаем 4:

3Q / (P − R) = 15

Делим на 3:

Q / (P − R) = 5

Ключевые выводы

1. Рациональные выражения почти всегда нужно упрощать перед решением
   
   
2. Основной инструмент — факторизация и сокращение
   
   
3. Если факторизация невозможна:
   
   
   • разбивай числитель по сложению/вычитанию
     
     
4. Сокращение часто превращает сложную задачу в тривиальную
   
   
5. GMAT специально проверяет, заметишь ли ты возможность сокращения
   
   

Это один из самых «стоимостных» навыков в Quant:
минимум вычислений — максимум результата.

Далее нам следует изучить основы решения линейных уравнений.