Свойства корней

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

Корни — это, по сути, частный случай степеней, поэтому многие свойства степеней напрямую переносятся и на корни. Чуть позже мы явно свяжем корни и дробные показатели степени, но сейчас сосредоточимся на ключевых свойствах корней, которые регулярно проверяются в GMAT Quant.

Во всех примерах ниже будем использовать квадратные корни и предполагать, что числа P и Q положительны. Эти свойства также работают:

• для корней более высокого порядка
  
  
• для нечётных корней — даже без требования положительности
  
  

1. Корень произведения

Корень от произведения равен произведению корней:

• квадратный корень из (P × Q) = квадратный корень из P × квадратный корень из Q
  
  

Это свойство — прямой аналог распределения показателей степени по умножению.

Пример

Упростить:

• квадратный корень из 12 × квадратный корень из 27
  
  

Подход:

1. Разложим 27:
   
   

• 27 = 3 × 9
  
  

1. Объединим множители:
   
   

• квадратный корень из (12 × 3 × 9)
  
  

1. Заметим два полных квадрата:
   
   

• 12 × 3 = 36
  
  
• 9 = полный квадрат
  
  

Получаем:

• квадратный корень из (36 × 9)
  
  

Разделяем:

• квадратный корень из 36 × квадратный корень из 9 = 6 × 3 = 18
  
  

Важно:
мы не вычисляли 12 × 27 напрямую, но получили точный результат.

2. Корень частного

Корень от дроби равен дроби из корней:

• квадратный корень из (P / Q) = квадратный корень из P / квадратный корень из Q
  
  

Это свойство упрощает работу с корнями в дробях.

Примеры

Пример 1:

• квадратный корень из (4 / 49)
  
  

Берём корень числителя и знаменателя:

• 2 / 7
  
  

Пример 2:

• квадратный корень из (4 / 50)
  
  

Сначала упростим дробь:

• 4 / 50 = 2 / 25
  
  

Теперь берём корень:

• квадратный корень из 2 / 5
  
  

Здесь дальше упростить нельзя, потому что 2 — не полный квадрат.

3. Типичная ловушка: где распределять нельзя

Как и со степенями, здесь есть очень опасная и очень популярная ошибка.

Законно:

• корни распределяются по умножению
  
  
• корни распределяются по делению
  
  

Незаконно:

• распределять корень по сложению или вычитанию
  
  

То есть:

• квадратный корень из (P + Q) не равен квадратному корню из P + квадратному корню из Q
  
  
• квадратный корень из (P − Q) не равен квадратному корню из P − квадратному корню из Q
  
  

Это всегда ошибка, даже если кажется «логичным».

4. Почему это ошибка (интуиция)

Корень — это оператор, который:

• не «разбивает» сумму на части
  
  
• работает с выражением целиком
  
  

Если попытаться «распределить» корень по сложению, результат перестаёт соответствовать исходному выражению. Именно такие ошибки GMAT часто закладывает в неправильные варианты ответа.

Итоги урока

1. Корень произведения равен произведению корней
   
   
2. Корень частного равен частному корней
   
   
3. Корни НЕ распределяются по сложению и вычитанию
   
   
4. Эти свойства верны для квадратных и более высоких корней
   
   
5. Для нечётных корней ограничения на знак аргумента отсутствуют
   
   

Понимание этих свойств необходимо для уверенного упрощения выражений с радикалами и для распознавания типичных ловушек GMAT Quant.

Разберемся теперь как упрощать корни.