Упрощение с помощью подстановок

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В этом уроке мы разбираем продвинутый приём, который применяется в самых сложных алгебраических задачах на GMAT. Это не базовая техника — она нужна тогда, когда прямое раскрытие скобок и стандартные преобразования приводят к громоздким вычислениям.

Ключевая идея — замечать повторяющиеся выражения и временно заменять их одной переменной. Это позволяет резко упростить задачу.

Идея метода

Если в уравнении одно и то же выражение встречается несколько раз, можно:

1. Ввести новую переменную (часто используют u)
   
   
2. Заменить повторяющееся выражение на эту переменную
   
   
3. Решить более простое уравнение
   
   
4. Вернуться к исходной переменной и найти ответ
   
   

Это пример стратегии «свести сложное к знакомому».

Пример 1. Квадратичная структура с повторяющимся выражением

Рассмотрим уравнение вида:

• (2x — 1)^2 + 5(2x — 1) — 24 = 0
  
  

Прямой путь (плохая идея)

Можно:

• раскрыть (2x — 1)^2
  
  
• распределить множители
  
  
• собрать подобные
  
  
• решить квадратное уравнение
  
  

Но это долго и легко ошибиться.

Подстановка

Обратите внимание: выражение 2x — 1 встречается дважды.

Введём:

• u = 2x — 1
  
  

Тогда уравнение превращается в:

• u^2 + 5u — 24 = 0
  
  

Решение для u

Факторизуем:

• (u + 8)(u — 3) = 0
  
  

Отсюда:

• u = -8
  
  
• u = 3
  
  

Возвращаемся к x

Подставляем обратно:

1. 2x — 1 = -8
   2x = -7
   x = -7/2
   
   
2. 2x — 1 = 3
   2x = 4
   x = 2
   
   

Ответ

• x = -7/2
  
  
• x = 2
  
  

Пример 2. Подстановка с квадратом выражения

Рассмотрим уравнение:

• (x^2 + 1)^2 — 15(x^2 + 1) + 50 = 0
  
  

Шаг 1. Подстановка

Повторяется выражение x^2 + 1. Вводим:

• u = x^2 + 1
  
  

Получаем:

• u^2 — 15u + 50 = 0
  
  

Шаг 2. Решаем уравнение для u

Факторизация:

• (u — 5)(u — 10) = 0
  
  

Отсюда:

• u = 5
  
  
• u = 10
  
  

Шаг 3. Возвращаемся к x

1. x^2 + 1 = 5
   x^2 = 4
   x = ±2
   
   
2. x^2 + 1 = 10
   x^2 = 9
   x = ±3
   
   

Ответ

• x = -3, -2, 2, 3
  
  

Обратите внимание: исходное уравнение имеет четыре решения.

Пример 3. Многоуровневая подстановка (дроби)

Рассмотрим уравнение сложной структуры:

• 3 / [1 — (8 / (7 + k))] = 15
  
  

Здесь разумно идти поэтапно, а не пытаться упростить всё сразу.

Шаг 1. Первая подстановка

Обозначим весь знаменатель:

• A = 1 — (8 / (7 + k))
  
  

Тогда уравнение:

• 3 / A = 15
  
  

Решаем:

• A = 1/5
  
  

Шаг 2. Вторая подстановка

Обозначим внутреннюю дробь:

• B = 8 / (7 + k)
  
  

По определению:

• A = 1 — B
  
  

Подставляем значение A:

• 1 — B = 1/5
  
  
• B = 4/5
  
  

Шаг 3. Решаем для k

Теперь:

• 8 / (7 + k) = 4/5
  
  

Сокращаем:

• 2 / (7 + k) = 1/5
  
  

Перемножаем:

• 7 + k = 10
  
  
• k = 3
  
  

Ответ

• k = 3
  
  

Когда использовать этот приём

Используйте подстановки, если:

• одно и то же выражение повторяется
  
  
• прямое раскрытие скобок создаёт «алгебраический мусор»
  
  
• уравнение имеет вложенную или дробную структуру
  
  

Итоговые правила (для сложных задач GMAT)

1. Ищите повторяющиеся выражения
   
   
2. Временно заменяйте их одной переменной
   
   
3. Решайте более простое уравнение
   
   
4. Обязательно возвращайтесь к исходной переменной
   
   
5. При сложных дробях — упрощайте по частям
   
   

Этот метод экономит время, снижает риск ошибок и является типичным примером экзаменационной стратегии высокого уровня в Quant-разделе GMAT. На этом мы закончили раздел посвященный алгебре, неравенствам и уравнениям. 

Далее нас ждет раздел о текстовых задачах.