Другие корни

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

В прошлой теме мы разобрали квадратные корни. Теперь расширим идею на корни более высокого порядка: кубические, четвертые, пятые и т.д.

Как квадратный корень «отменяет» возведение в квадрат (с важными оговорками), так и корень n-й степени «отменяет» возведение в n-ю степень.

1. Нотация: как записываются корни разных порядков

• квадратный корень из k записывается как корень из k (индекс 2 обычно не пишут)
  
  
• для остальных корней перед знаком радикала ставят маленькое число — порядок корня
  
  

Примеры:

• кубический корень из k — корень третьей степени из k
  
  
• корень четвертой степени из k — корень четвертой степени из k
  
  
• и т.д.
  
  

То есть порядок корня показывает, какую степень он “отменяет”.

2. Положительные и отрицательные: квадрат vs куб

Квадрат (чётная степень)

• положительное число в квадрате → положительное
  
  
• отрицательное число в квадрате → положительное
  
  

Поэтому:

• x в квадрате = 9 имеет два решения: x = 3 и x = -3
  
  
• x в квадрате = -9 не имеет решений в действительных числах
  
  

И аналогично:

• квадратный корень из отрицательного числа (в GMAT) не определён
  
  

Куб (нечётная степень)

• положительное число в кубе → положительное
  
  
• отрицательное число в кубе → отрицательное
  
  

Поэтому:

• x в кубе = 8 имеет одно решение: x = 2
  
  
• x в кубе = -8 имеет одно решение: x = -2
  
  

И ключевой вывод:

Кубический корень можно брать от любого числа на числовой прямой: положительного, нуля или отрицательного.

Примеры:

• кубический корень из 8 = 2
  
  
• кубический корень из 0 = 0
  
  
• кубический корень из -8 = -2
  
  

В отличие от квадратного корня, кубический корень может давать отрицательный результат.

3. Что полезно знать наизусть: кубы до 10

Для быстрых вычислений выгодно знать кубы (как минимум до 6, лучше до 10):

• 1 в кубе = 1
  
  
• 2 в кубе = 8
  
  
• 3 в кубе = 27
  
  
• 4 в кубе = 64
  
  
• 5 в кубе = 125
  
  
• 6 в кубе = 216
  
  
• 7 в кубе = 343
  
  
• 8 в кубе = 512
  
  
• 9 в кубе = 729
  
  
• 10 в кубе = 1000
  
  

Это автоматически даёт вам набор кубических корней.

Полезные связи со степенями:

• 8 в кубе = (2 в кубе) в кубе = 2 в степени 9
  
  
• 4 в кубе = (2 в квадрате) в кубе = 2 в степени 6
  
  
• 4 в кубе = 64 = 8 в квадрате
  
  

Это помогает тренировать законы степеней.

4. Чётные и нечётные корни: главное разделение

Мы делим корни на два типа:

Чётные корни

Это корни 2-й, 4-й, 6-й степени и т.д.
Квадратный корень — это чётный корень (индекс 2 просто не пишут).

Правило:

• чётный корень из положительного числа → определён и положителен
  
  
• чётный корень из отрицательного числа → не определён (в действительных числах)
  
  

Нечётные корни

Это корни 3-й, 5-й, 7-й степени и т.д.

Правило:

• нечётный корень из положительного числа → положителен
  
  
• нечётный корень из отрицательного числа → отрицателен
  
  

И главное:

Нечётный корень можно брать от любого действительного числа.

5. Корни от 0 и 1

Для любого n ≥ 2:

• корень n-й степени из 0 = 0
  
  
• корень n-й степени из 1 = 1
  
  

Это всегда верно.

6. Корни сохраняют порядок неравенств (для положительных чисел)

Если A < B < C и все числа положительны, то:

• корень n-й степени из A < корень n-й степени из B < корень n-й степени из C
  
  

Пример оценки:

Найти, между какими целыми лежит корень четвертой степени из 50.

Знаем:

• 2 в степени 4 = 16
  
  
• 3 в степени 4 = 81
  
  

Так как:

• 16 < 50 < 81
  
  

то:

• 2 < корень четвертой степени из 50 < 3
  
  

GMAT обычно не требует точного десятичного значения — достаточно правильно ограничить число.

7. Сравнение корней разных порядков

Случай A: число больше 1

Если x > 1, то:

• чем выше порядок корня, тем меньше результат (но он остаётся больше 1)
  
  

Интуиция:

• чтобы получить x, нужно перемножить одинаковые множители
  
  
• для квадратного корня достаточно 2 множителей
  
  
• для кубического — 3 множителей
  
  
• для корня 4-й степени — 4 множителей
  
  
• чем больше множителей нужно, тем каждый множитель должен быть меньше
  
  

Пример для 19:

• квадратный корень из 19 > кубического корня из 19 > корня 4-й степени из 19 > …
  
  

И, например:

• корень 30-й степени из 19 < корня 20-й степени из 19
  
  

Даже если вы не знаете точных значений, сравнение по порядку корня работает.

Случай B: число между 0 и 1

Если 0 < b < 1, всё меняется на противоположное:

• чем выше порядок корня, тем больше результат
  
  
• но он остаётся меньше 1
  
  

Пример для 2/5:

• 2/5 < квадратный корень из 2/5 < кубический корень из 2/5 < корень 4-й степени из 2/5 < … < 1
  
  

И сравнение больших порядков тоже возможно:

• корень 50-й степени из 2/5 < корня 75-й степени из 2/5 < 1
  
  

8. Универсальная формулировка: «корни тянут к 1»

Удобный общий вывод:

• если число больше 1, корни делают его меньше и приближают к 1
  
  
• если число между 0 и 1, корни делают его больше и тоже приближают к 1
  
  

То есть повышение порядка корня приближает результат к 1 с любой стороны.

Итоги урока

1. Кубический корень можно брать от положительных и отрицательных чисел
   
   
2. Любой чётный корень определён только для чисел ≥ 0
   
   
3. Любой нечётный корень определён для всех действительных чисел
   
   
4. Любой корень из 0 равен 0, любой корень из 1 равен 1
   
   
5. Для положительных чисел корни сохраняют порядок неравенств
   
   
6. Чем выше порядок корня, тем ближе результат к 1:
   
   
   • для чисел > 1 корни уменьшают
     
     
   • для чисел между 0 и 1 корни увеличивают
     
     

Эти свойства встречаются реже, но на сложных задачах Quant они дают очень быстрые сравнения без вычислений.

Рассмотрим далее свойства корней.