Запись уравнений прямых

Эта тема является частью раздела о координатной плоскости в Quant GMAT Focus.

Иногда на экзамене требуется составить уравнение прямой по заданной информации.
В других задачах нахождение уравнения прямой — это промежуточный шаг, без которого невозможно ответить на основной вопрос.

Экзамен может:

• дать числовую информацию (наклон, точку, Y-пересечение и т.п.);
  
  
• или дать график, по которому нужно считать наклон и пересечение с осью Y.
  
  

И в том, и в другом случае цель одна — получить уравнение прямой.

Когда дана картинка

Если в задаче приведён график прямой, обычно с него легко:

• считать наклон,
  
  
• определить Y-пересечение.
  
  

А этого уже достаточно, чтобы записать уравнение в форме:

y = mx + b

Пример 1: уравнение по графику

Условие:
Прямая проходит через точку (a, 30). Найти значение a.

Решение:

• По графику видно, что Y-пересечение равно 1.
  
  
• По наклону видно:
  
  
  • пробег = 2,
    
    
  • подъём = 1,
    
    
  • значит, наклон равен 1/2.
    
    

Уравнение прямой:

y = 1/2 x + 1

Теперь подставляем координаты точки:

• y = 30,
  
  
• x = a.
  
  

30 = 1/2 a + 1
30 − 1 = 1/2 a
29 = 1/2 a
a = 58

Ответ: 58.

Прямая по наклону и одной точке

Экзамен часто даёт:

• наклон,
  
  
• одну точку на прямой.
  
  

Этого всегда достаточно, чтобы задать единственную прямую.

Алгоритм:

1. Записываем y = mx + b.
   
   
2. Подставляем известный наклон m.
   
   
3. Подставляем координаты заданной точки вместо x и y.
   
   
4. Решаем уравнение и находим b.
   
   
5. Получаем полную форму slope-intercept.
   
   

Пример 2: найти X-пересечение

Условие:
Наклон прямой равен −5/3.
Прямая проходит через точку (−2, 7).
Найти X-пересечение.

Способ 1: алгебраический

1. Записываем:
   y = −5/3 x + b
   
   
2. Подставляем точку (−2, 7):
   7 = −5/3 · (−2) + b
   7 = 10/3 + b
   b = 7 − 10/3 = 11/3
   
   
3. Уравнение прямой:
   y = −5/3 x + 11/3
   
   
4. Чтобы найти X-пересечение, подставляем y = 0:
   0 = −5/3 x + 11/3
   5/3 x = 11/3
   x = 11/5 = 2.2
   
   

X-пересечение: 11/5.

Способ 2: графический (через наклон)

Рассуждаем геометрически.

• Наклон −5/3 означает:
  
  
  • вправо 3,
    
    
  • вниз 5.
    
    

Из точки (−2, 7):

• вправо 3 → x = 1,
  
  
• вниз 5 → y = 2.
  
  

Мы приблизились к оси X.

Теперь:

• от точки (1, 2) до оси X вертикальное расстояние равно 2,
  
  
• пробег до X-пересечения обозначим как d.
  
  

По подобию треугольников:

• 2 / d = 5 / 3
  
  
• d = 6/5 = 1.2
  
  

От x = 1 двигаемся вправо ещё на 1.2:

• X-пересечение = 2.2
  
  

Тот же результат, но полученный геометрически.

Почему важно понимать оба подхода

Алгебраический способ:

• всегда работает,
  
  
• гарантированно приводит к ответу.
  
  

Графический способ:

• даёт глубокое понимание,
  
  
• позволяет видеть пропорции,
  
  
• часто ускоряет решение.
  
  

Если вы умеете решать задачу и алгебраически, и графически, вы действительно понимаете координатную геометрию.

Уравнение по двум точкам

Экзамен может дать две точки на прямой.

Алгоритм:

1. Найти наклон по двум точкам.
   
   
2. Подставить наклон в y = mx + b.
   
   
3. Подставить координаты любой из данных точек.
   
   
4. Найти b.
   
   
5. Получить уравнение прямой.
   
   

Пример 3: найти неизвестную координату

Условие:
Прямая J проходит через точки:

• (−3, −2),
  
  
• (1, 1),
  
  
• (7, q).
  
  

Найти q.

Алгебраический подход

1. Находим наклон между первыми двумя точками:
   
   
   • подъём = 3,
     
     
   • пробег = 4,
     
     
   • наклон = 3/4.
     
     
2. Подставляем в y = mx + b:
   y = 3/4 x + b
   
   
3. Подставляем точку (1, 1):
   1 = 3/4 · 1 + b
   b = 1/4
   
   
4. Уравнение прямой:
   y = 3/4 x + 1/4
   
   
5. Подставляем x = 7:
   y = 21/4 + 1/4 = 22/4 = 11/2
   
   

q = 11/2 = 5.5

Графический подход

• Наклон 3/4 означает:
  
  
  • вправо 4,
    
    
  • вверх 3.
    
    

От точки (−3, −2):

• вправо 4 → (1, 1),
  
  
• ещё вправо 4 → (5, 4).
  
  

Теперь от x = 5 до x = 7 пробег равен 2.

По пропорции наклона:

• подъём / 2 = 3 / 4
  
  
• подъём = 3/2 = 1.5
  
  

Добавляем к y = 4:

• 4 + 1.5 = 5.5
  
  

q = 5.5, тот же результат.

Ключевые выводы

• По графику можно считать наклон и Y-пересечение.
  
  
• Наклон и одна точка однозначно задают прямую.
  
  
• Две точки всегда позволяют найти наклон.
  
  
• После нахождения наклона удобно использовать форму y = mx + b.
  
  
• Многие задачи можно решать:
  
  
  • строго алгебраически,
    
    
  • или через геометрическое понимание наклона и пропорций.
    
    

Умение видеть оба подхода — признак сильного понимания GMAT Quant.

Это была последняя глава этого раздела. Далее мы переходим к части Verbal.