Процентные увеличения и уменьшения

Задачи на процентное увеличение и уменьшение — один из самых любимых типов вопросов в Quant-разделе GMAT и GRE. Они встречаются очень часто и нередко содержат логические ловушки. В этой и следующих главах мы разберём этот тип задач системно.

Перед началом напомним ключевую идею из главы Working with Percents:

Десятичная форма процента — это его множитель.

Однако при увеличениях и уменьшениях мы будем использовать другие множители, отличные от тех, что применяются для нахождения просто P% от числа.

Процентное увеличение

Процентное увеличение может быть сформулировано по-разному:

• Y увеличилось на 30%
  
  
• X на 30% больше, чем Y
  
  

В обоих случаях речь идёт о процентном увеличении величины Y.

Логика множителя при увеличении

Если величина увеличивается на 30%, это означает:

• исходная величина полностью сохраняется (100%);
  
  
• дополнительно прибавляется ещё 30%.
  
  

Следовательно, общий множитель равен:

• 1 + 0.3 = 1.3
  
  

Здесь:

• 1 — это исходное целое;
  
  
• 0.3 — добавленные 30%.
  
  

Общее правило

Если речь идёт о P% увеличении, множитель равен:

1 + (P% в десятичной форме)

Пример:
46% увеличение → множитель = 1 + 0.46 = 1.46

Пример 1: нахождение новой цены

Условие:
Товар стоил 800. Цена выросла на 20%. Какова новая цена?

Решение через множитель:

• 20% = 0.2
  
  
• множитель = 1.2
  
  

800 × 1.2 = 960

Ответ: 960

Решение через чувство числа:
10% от 800 = 80
20% от 800 = 160
800 + 160 = 960

Оба подхода корректны.

Пример 2: восстановление исходного значения

Условие:
После увеличения на 30% цена стала равна 78. Какова была исходная цена?

Решение:

• множитель = 1.3
  
  
• x × 1.3 = 78
  
  

78 / 1.3 = 60

Ответ: 60

Процентное уменьшение

Процентное уменьшение может формулироваться так:

• Y уменьшилось на 30%
  
  
• X на 30% меньше, чем Y
  
  

Это процентное уменьшение величины Y.

Логика множителя при уменьшении

Если величина уменьшается на 30%, это означает:

• 30% исчезает;
  
  
• остаётся 70% от исходного значения.
  
  

Следовательно, множитель равен:

• 1 − 0.30 = 0.7
  
  

Общее правило

Если речь идёт о P% уменьшении, множитель равен:

1 − (P% в десятичной форме)

Пример:
28% уменьшение → множитель = 1 − 0.28 = 0.72

Пример 3: нахождение новой цены после скидки

Условие:
Товар стоил 170. Его уценили на 30%. Какова новая цена?

Решение через множитель:

• множитель = 0.7
  
  
• 170 × 0.7 = 119
  
  

Ответ: 119

Решение через чувство числа:
10% от 170 = 17
30% = 51

170 − 50 − 1 = 119

Удобный устный расчёт.

Пример 4: восстановление исходной цены после большой скидки

Условие:
После скидки 80% цена стала равна 150. Какова была исходная цена?

Решение через множитель:

• множитель = 1 − 0.8 = 0.2
  
  
• x × 0.2 = 150
  
  

x = 150 / 0.2 = 750

Ответ: 750

Решение через чувство числа:
Если осталось 20%, то 10% = 75
100% = 750

Нахождение процента увеличения или уменьшения

Иногда даны начальное и конечное значения, а требуется найти процент изменения.

Общий принцип

Если:

• новое = старое × множитель
  
  

то:

• множитель = новое / старое
  
  

После этого:

• множитель − 1 → процент увеличения
  
  
• 1 − множитель → процент уменьшения
  
  

Пример 5: процент увеличения

Условие:
Цена выросла с 60 до 102. Каков процент увеличения?

Решение:

• множитель = 102 / 60
  
  
• делим на 6 → 17/10 = 1.7
  
  

Это множитель 70% увеличения.

Проверка через разницу:
Разница = 42
10% от 60 = 6
42 = 7 × 6 → 70%

Пример 6: процент уменьшения

Условие:
Цена упала с 250 до 200. Каков процент уменьшения?

Решение:

• множитель = 200 / 250 = 20/25 = 80/100 = 0.8
  
  

0.8 — это множитель 20% уменьшения.

Проверка:
Падение = 50
50 — это 1/5 от 250 → 20%

Классическая ловушка GMAT

Условие:
Цена выросла с 200 до 800. Каков процент увеличения?

Множитель = 800 / 200 = 4

Ошибка-ловушка: считать, что это 400% увеличение.

Почему это неверно

• 4 — это множитель
  
  
• процент увеличения = 4 − 1 = 3, то есть 300%
  
  

Важно различать два разных вопроса:

• 800 — это 400% от 200
  
  
• 800 — это 300% больше, чем 200
  
  

GMAT регулярно проверяет это различие.

Итоговые выводы

В этой главе были разобраны ключевые идеи:

1. Множитель для P% увеличения:
   1 + (P в десятичной форме)
   
   
2. Множитель для P% уменьшения:
   1 − (P в десятичной форме)
   
   
3. Для нахождения процента изменения:
   
   
   • множитель = новое / старое
     
     
   • затем корректно интерпретировать результат
     
     
4. Не путать:
   
   
   • «P% от числа»
     
     
   • «P% больше»
     
     
   • «P% меньше»
     
     

Понимание этих различий и уверенная работа с множителями — критически важный навык для успешного решения задач Quant на GMAT и GRE.

Если вы хотите освежить память — есть вводная статья про проценты. 

Следующая глава будет про процентные увеличения и уменьшения.