Количество переменных

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

У многих студентов возникает вопрос: сколько переменных использовать в текстовых задачах?
Важный момент — это не строгий математический закон, а во многом вопрос удобства и личных предпочтений.

Иногда студенты зацикливаются на том, «правильно» ли решать задачу с одной переменной или обязательно нужно вводить две. На самом деле во многих задачах оба подхода допустимы.

Ключевая цель — понять, какой способ работает лучше лично для вас.

Один или две переменные — оба варианта допустимы

Во многих задачах:

• можно ввести две переменные и решить систему,

   

• а можно выразить всё через одну переменную и решить одно уравнение.

   

Рекомендация для практики:

• решили задачу с двумя переменными →

   

• вернитесь и решите ту же самую задачу с одной переменной.

   

Так вы быстрее выработаете интуицию и комфорт в работе с текстовыми задачами.

Пример 1: Frank и Glenda (два способа)

Условие

• У Frank на $13 больше, чем у Glenda

   

• Вместе у них $81

   

Вопрос: сколько денег у Frank?

Способ 1: две переменные

Обозначим:

• F — деньги Frank

   

• G — деньги Glenda

   

Из условия:

F = G + 13

F + G = 81

Наша цель — найти F, поэтому выразим G и подставим:

G = F — 13

Подставляем:

F + (F — 13) = 81

Решаем:

2F — 13 = 81

2F = 94

F = 47

Способ 2: одна переменная

Целевая величина — деньги Frank, значит сразу выбираем:

• F — деньги Frank

   

Glenda имеет на $13 меньше:

G = F — 13

Сумма:

F + (F — 13) = 81

Это то же самое уравнение, и ответ снова:

F = 47

Вывод по примеру

• оба метода приводят к одному и тому же уравнению;

   

• один переменный подход часто чуть быстрее;

   

• но не всегда очевидно, как выразить всё через одну переменную.

   

Что делать, если одна переменная путает?

Если вы замечаете, что:

• трудно выразить остальные величины через одну переменную,

   

• легко ошибиться в знаках,

   

— тогда смело используйте две переменные.
GMAT не наказывает за «лишнюю» переменную — он наказывает за ошибки.

А если переменных больше двух?

Общее правило алгебры:

• для n переменных нужно n уравнений.

   

На практике:

• системы из трёх уравнений — это уже довольно тяжёлая алгебра;

   

• четыре или пять уравнений на GMAT не встречаются.

   

Если в задаче упоминаются 3–4 объекта, почти всегда можно:

• выразить все величины через одну центральную переменную,

   

• получить одно уравнение.

   

Пример 2: возраст Mark, Lisa и Peter

Условие

• Mark на 8 лет старше Lisa

   

• Peter на 3 года младше, чем утроенный возраст Lisa

   

• сумма возрастов равна 80

   

Вопрос: сколько лет Peter?

Шаг 1. Переменные

Выбираем центральную величину:

• L — возраст Lisa

   

Тогда:

Mark = L + 8

Peter = 3L — 3

Шаг 2. Сумма возрастов

(L + 8) + L + (3L — 3) = 80

Упрощаем:

5L + 5 = 80

5L = 75

L = 15

Шаг 3. Отвечаем на вопрос

Возраст Peter:

3*15 — 3 = 42

Ответ

Peter 42 года.

(Хорошо, что использовались “говорящие” переменные: L = 15 — это возраст Lisa, а не ответ.)

Пример 3: задача уровня GMAT

Условие

Wendy вышла из дома с D долларами и потратила:

• бензин — на $3 меньше, чем 1/3 D

   

• книгу — 1/6 D

   

• канцтовары — на $6 больше, чем 1/6 D

   

• продукты — 1/4 D

   

После покупок у неё осталось $4.

Вопрос: чему равно D?

Записываем расходы

(1/3 D — 3)

+ (1/6 D)

+ (1/6 D + 6)

+ (1/4 D)

+ 4

= D

Упрощаем

1/6 + 1/6 = 1/3,
-3 + 6 + 4 = +7

Получаем:

(1/3 + 1/3 + 1/4)D + 7 = D

Приводим к общему знаменателю:

11/12 D + 7 = D

Решаем

D — 11/12 D = 7

1/12 D = 7

D = 84

Ответ

Wendy вышла из дома с $84.

Итоговые рекомендации

• Если в задаче две величины:

   

  • попробуйте один переменный подход — он может быть быстрее;

     

  • если путаетесь, используйте две переменные.

     

• Если в задаче три и более величины:

   

  • почти всегда нужно выразить всё через одну центральную переменную;

     

  • цель — одно уравнение с одной неизвестной.

     

Главное — не искать “единственно правильный” способ, а найти тот,
который работает лучше именно для вас.

Следующий урок будет посвящен задачам на возраст.