Научная нотация — углубление

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

В предыдущем разделе мы уже сталкивались с научной нотацией при работе со степенями 10. Теперь формализуем это понятие и разберём все операции, которые реально встречаются на GMAT: приведение к стандартному виду, умножение, деление, сложение и вычитание.

1) Определение научной нотации

Число записано в научной нотации, если оно имеет вид:

N = A × 10^p

 

где:

A — действительное число, такое что

1 ≤ A < 10

•  
• p — целое число (может быть положительным, отрицательным или нулём)
  
  

Пример (корректная научная нотация)

6.02 × 10^23   (число Авогадро)

 

Здесь:

• 6.02 ∈ [1, 10)
  
  
• 23 — целое число
  
  

2) Когда имеет смысл использовать научную нотацию

Теоретически любое число можно записать в научной нотации:

365 = 3.65 × 10^2

 

Но на практике это бессмысленно, потому что запись становится длиннее.

Практическое правило GMAT:

научная нотация используется, когда
|p| ≥ 3–4
и она упрощает запись числа

3) Некорректная научная нотация и как её исправлять

Если коэффициент A:

• ≥ 10
  
  
• или < 1
  
  

→ запись не является корректной научной нотацией.

Пример 1: A слишком большое

597.2 × 10^22

 

Исправляем:

• двигаем точку влево на 2
  
  
• увеличиваем показатель степени на 2
  
  

5.972 × 10^24

 

Пример 2: A меньше 1

0.09109 × 10^(-29)

 

Исправляем:

• двигаем точку вправо на 2
  
  
• уменьшаем показатель степени на 2
  
  

9.109 × 10^(-31)

 

4) Умножение чисел в научной нотации

Общее правило

(A × 10^p) × (B × 10^q) = (A × B) × 10^(p + q)

 

Пример

(2.5 × 10^17) × (6 × 10^(-8))

 

1️⃣ Умножаем коэффициенты:

2.5 × 6 = 15

 

2️⃣ Складываем показатели степеней:

17 + (−8) = 9

 

Получаем:

15 × 10^9

 

3️⃣ Приводим к корректной форме:

1.5 × 10^10

 

5) Деление чисел в научной нотации

Общее правило

(A × 10^p) ÷ (B × 10^q) = (A ÷ B) × 10^(p − q)

 

Пример

(2.4 × 10^22) ÷ (3 × 10^8)

 

1️⃣ Делим коэффициенты:

2.4 ÷ 3 = 0.8

 

2️⃣ Вычитаем показатели:

22 − 8 = 14

 

Получаем:

0.8 × 10^14

 

3️⃣ Приводим к стандартному виду:

8 × 10^13

 

6) Сложение и вычитание в научной нотации

⚠️ Самая частая ловушка на GMAT

нельзя складывать или вычитать числа,
пока показатели степени не одинаковые

Алгоритм

1. привести степени 10 к одному показателю
   
   
2. сложить / вычесть коэффициенты
   
   
3. снова привести к корректной форме
   
   

Пример

2 × 10^20 − 6 × 10^17

 

1️⃣ Приводим к меньшей степени:

2 × 10^20 = 2000 × 10^17

 

2️⃣ Вычитаем:

(2000 − 6) × 10^17 = 1994 × 10^17

 

3️⃣ Приводим к научной нотации:

1.994 × 10^20

 

7) Типовая задача GMAT (логика, а не вычисления)

Условие:
Ток равен:

3.6 × 10^(-8) ампер

 

Из-за дефекта он стал в 1000 раз меньше.

Решение

1000 = 10^3

 

3.6 × 10^(-8) ÷ 10^3 = 3.6 × 10^(-11)

 

8) Формулы и правила (готовый блок)

Определение

N = A × 10^p

1 ≤ A < 10

p ∈ ℤ

 

Умножение

(A × 10^p)(B × 10^q) = (A × B) × 10^(p+q)

 

Деление

(A × 10^p) / (B × 10^q) = (A / B) × 10^(p−q)

 

Сложение / вычитание

A × 10^p ± B × 10^p = (A ± B) × 10^p

 

(степени обязательно одинаковые)

9) Типичные ошибки на GMAT

❌ не приводят A к диапазону [1;10)
❌ забывают менять степень при сдвиге точки
❌ складывают числа с разными степенями
❌ путают «в 1000 раз меньше» и «минус 1000»

Краткое резюме

• научная нотация = компактная запись больших и малых чисел
  
  
• коэффициент A всегда между 1 и 10
  
  
• при умножении степени складываются
  
  
• при делении степени вычитаются
  
• при сложении степени обязательно выравниваются

Далее мы переходим к вводной части про дроби.