Работа с формулами

На GMAT Quant вам иногда дают готовую формулу и задают вопросы по ней. Это может быть формула из физики, бизнеса или другой области, но никаких внешних знаний не требуется: тест всегда объясняет, что означает каждая переменная.

Практически все такие задачи сводятся к одному из трёх типов:

1. Подставить числа и вычислить
   
   
2. Алгебраически выразить одну переменную через другие
   
   
3. Пропорциональное рассуждение (как меняется одна величина, если другие изменяются)
   
   

Разберём каждый тип.

1. Подстановка чисел (plug-in and solve)

Пример.
Минимальный тормозной путь автомобиля d связан со скоростью v и ускорением a формулой:

• v² = 2ad
  
  

Если v = 30 и a = 10, найти d.

Решение.

Подставляем:

• 30² = 2 · 10 · d
  
  
• 900 = 20d
  
  
• d = 45
  
  

Единицы измерения не важны, если они не указаны.

2. Выразить одну переменную через другие

Пример 1

Дано:

• v² = 2ad
  
  

Выразить v.

Берём квадратный корень:

• v = √(2ad)
  
  

Так как все величины положительны, знак ± не нужен.

Пример 2

Дано:

• h = 1/2 gt² + vt
  
  

Выразить g.

Шаги:

1. Умножаем всё на 2:
   
   
   • 2h = gt² + 2vt
     
     
2. Изолируем член с g:
   
   
   • gt² = 2h − 2vt
     
     
3. Делим на t²:
   
   
   • g = (2h − 2vt) / t²
     
     

Можно также упростить:

• g = 2h / t² − 2v / t
  
  

Обе формы допустимы.

Пример с дробями (типичная ловушка)

Дано:

• 1/p + 1/q = 1/f
  
  

Выразить q.

Нельзя просто «перевернуть» всё и получить p + q = f — это ошибка.

Правильные шаги:

1. Выразим 1/q:
   
   
   • 1/q = 1/f − 1/p
     
     
2. Приводим к общему знаменателю:
   
   
   • 1/q = (p − f) / (pf)
     
     
3. Берём обратную величину:
   
   
   • q = pf / (p − f)
     
     

3. Пропорциональные рассуждения (самый частый тип)

Здесь спрашивают не «чему равно», а во сколько раз изменится одна величина, если другие изменятся.

Ключевая стратегия GMAT

Назначь всем переменным и константам значение 1, а затем измени только те величины, которые указаны в вопросе.

Константы (например, 2) можно тоже временно заменить на 1 — они сократятся при сравнении.

Пример 1

Формула:

• v² = 2ad
  
  

Если v удваивается, а a не меняется, во сколько раз изменится d?

Старт:

• 1² = 1 · 1 · 1 → верно
  
  

Изменение:

• v = 2, a = 1, d = ?
  
  

Подставляем:

• 2² = 1 · 1 · d
  
  
• 4 = d
  
  

Ответ: d увеличится в 4 раза.

Пример 2

Если v утроится, а a удвоится, во сколько раз изменится d?

Старт:

• всё равно 1
  
  

Изменение:

• v = 3, a = 2
  
  

Подставляем:

• 3² = 2 · d
  
  
• 9 = 2d
  
  
• d = 9/2
  
  

Ответ: d умножится на 9/2.

Пример 3

Дана формула гравитации:

• F = kP / R²
  
  

Если P утроится, а R удвоится, во сколько раз изменится F?

Старт:

• 1 = 1 · 1 / 1²
  
  

Изменение:

• P = 3
  
  
• R = 2
  
  

Подставляем:

• F = 3 / 2² = 3/4
  
  

Ответ: сила уменьшится до 3/4 исходной.

Пример 4

Дана формула:

• t² = kR³
  
  

Если t = 5, чему равно R?

Старт:

• 1² = 1 · 1³
  
  

Изменение:

• t = 5
  
  

Подставляем:

• 25 = R³
  
  
• R = кубический корень из 25
  
  
• R = 25^(1/3) = 5^(2/3)
  
  

Любая из этих форм допустима.

Итоги

1. Формулы всегда даны — ничего помнить заранее не нужно
   
   
2. Вопросы бывают трёх типов:
   
   
   • подстановка чисел
     
     
   • алгебраическое выражение переменной
     
     
   • пропорциональные изменения
     
     
3. Для пропорций:
   
   
   • задай всем значения 1
     
     
   • измени только указанные величины
     
     
4. Это быстро, надёжно и идеально подходит для GMAT
   
   

Навык работы с формулами — это не знание физики или бизнеса, а чистая алгебра и логика, именно это и проверяет тест.

Мы закончили с разделом корней и степеней и теперь можем переходить к задачам по статистике.