Умножение и деление на 10 и степени 10

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Навыки работы с кратными 10 и степенями 10 — это одна из самых больших точек экономии времени на GMAT Quant.
Здесь нет «сложной математики», но есть много ловушек, особенно при десятичных дробях и научной нотации.

Если вы делаете паузы, чтобы подумать, куда двигать десятичную точку — этот раздел нужно довести до автоматизма.

1) Степени 10 больше 1

Если число записано в стандартном виде и больше 1:

количество нулей = количество множителей 10

Примеры

10 = 10^1 → 1 ноль

100 = 10^2 → 2 нуля

10 000 = 10^4 → 4 нуля

1 000 000 = 10^6 → 6 нулей

 

2) Степени 10 меньше 1

Здесь нули не считаем — считаем знаки после десятичной точки.

Примеры

0.1 = 10^(-1) → 1 знак после точки

0.01 = 10^(-2) → 2 знака

0.0001 = 10^(-4) → 4 знака

 

📌 Правило:

показатель степени = количеству знаков после точки

3) Базовый принцип (ключ ко всему)

каждый разряд слева в 10 раз больше, чем справа
каждый разряд справа в 10 раз меньше, чем слева

Это правило лежит в основе всех операций в этом разделе.

4) Умножение на 10

Универсальное правило

× 10  → сдвинуть десятичную точку на 1 вправо

 

Примеры

24 × 10 = 240

2.53 × 10 = 25.3

6400 × 10 = 64 000

0.00045 × 10 = 0.0045

 

📌 Для чисел > 1 это выглядит как «приписать ноль»,
но думать нужно именно как о сдвиге точки, а не о нуле.

5) Деление на 10 (или умножение на 0.1)

Универсальное правило

÷ 10  или  × 0.1  → сдвинуть точку на 1 влево

 

Примеры

24 ÷ 10 = 2.4

0.02 ÷ 10 = 0.002

39.85 × 0.1 = 3.985

0.00072 × 0.1 = 0.000072

 

6) Умножение на положительную степень 10

Правило

× 10^k → сдвинуть точку на k знаков вправо

 

Примеры

350 × 100 = 35 000     (k = 2)

0.01728 × 1000 = 17.28 (k = 3)

8.3 × 10^6 = 8 300 000

 

7) Деление на положительную степень 10

или умножение на отрицательную степень 10

Правило

÷ 10^k  или  × 10^(−k) → сдвинуть точку на k знаков влево

 

Примеры

1235 ÷ 100 = 12.35

0.064 × 10^(−2) = 0.00064

37.5 ÷ 10 000 = 0.00375

64 000 × 0.0001 = 6.4

5.4 × 10^(−5) = 0.000054

20.25 ÷ 10^6 = 0.00002025

 

8) Деление на десятичные степени 10

Очень важное наблюдение:

деление на 10^(−k)
эквивалентно
умножению на 10^k

Примеры

÷ 0.01  = × 100

÷ 0.001 = × 1000

 

То есть:

x ÷ 10^(−4) = x × 10^4

 

9) Проверка здравым смыслом (обязательно!)

Перед тем как зафиксировать ответ, задайте вопрос:

• операция должна сделать число больше или меньше?
  
  

Примеры

× 10^5 → число должно сильно увеличиться

÷ 10^4 → число должно резко уменьшиться

 

❌ Если получилось наоборот — вы сдвинули точку не в ту сторону.

10) Как быстро натренировать интуицию

Очень эффективный метод:

1. возьмите калькулятор
   
   
2. предскажите, куда должна сместиться точка
   
   
3. только потом нажмите =
   
   
4. сравните с результатом
   
   

Через короткое время вы перестанете нуждаться в калькуляторе вообще.

Формулы и правила (готовый блок)

Степени 10

10^k → k нулей (k > 0)

10^(−k) → k знаков после точки

 

Умножение

× 10^k → точка вправо на k

 

Деление

÷ 10^k → точка влево на k

 

Эквивалентность

÷ 10^(−k) = × 10^k

 

Типичные ошибки на GMAT

❌ двигать точку «по памяти», а не по смыслу
❌ путать умножение и деление на 10^(−k)
❌ считать нули вместо разрядов
❌ не проверять, должно ли число вырасти или уменьшиться

Краткое резюме

• степени 10 = сдвиг десятичной точки
  
  
• вправо → умножение, влево → деление
  
  
• количество сдвигов = степень 10
  
  
• деление на маленькое число делает результат больше
  
  
• здравый смысл — лучшая защита от ошибок

Далее вам следует изучить научную нотацию и введение в дроби.