Введение в отношения

Эта тема является частью раздела проценты и отношения в Quant GMAT Focus.

Теперь мы переходим к теме отношений (ratios) — одному из фундаментальных инструментов Quant-раздела GMAT и GRE.

Что такое отношение

Отношение — это дробь, которая может сравнивать:

• часть с частью (part-to-part),
  
  
• часть с целым (part-to-whole).
  
  

Пример

В классе отношение количества мальчиков к количеству девочек равно 3:4.

Это означает, что:

• число мальчиков, делённое на число девочек,
  
  
• в простейшем виде равно 3/4.
  
  

Ключевая идея: отношение ничего не говорит об абсолютных величинах

Это один из самых важных моментов в задачах на отношения.

Если отношение мальчиков к девочкам равно 3:4, то возможны бесконечно многие варианты:

• 15 мальчиков и 20 девочек
  
  
• 21 мальчик и 28 девочек
  
  
• 75 мальчиков и 100 девочек
  
  
• 300 мальчиков и 400 девочек
  
  
• 3000 мальчиков и 4000 девочек
  
  

Во всех случаях сохраняется одно и то же отношение.

Масштабный множитель (scale factor)

Если отношение равно 3:4, то:

• мальчиков = 3n
  
  
• девочек = 4n
  
  

где n — масштабный множитель (положительное целое число).

Отношение определяет только пропорцию, но не размер группы.
К этой идее мы будем возвращаться снова и снова.

Формы записи отношений

Одно и то же отношение может быть представлено разными способами.

1. Форма «p к q»

• Отношение мальчиков к девочкам — 3 к 4
  
  

2. Дробная форма

• Отношение мальчиков к девочкам — 3/4
  
  

3. Двоеточие (colon form)

• 3:4
  Это самая распространённая форма на экзамене.
  
  

4. Идиоматическая форма

• На каждых 3 мальчика приходится 4 девочки
  
  

Все эти формы передают одну и ту же информацию.

Почему дробная форма самая важная

Из всех форм дробная форма — самая полезная, потому что:

• с дробями можно выполнять вычисления;
  
  
• они легко встраиваются в уравнения и пропорции.
  
  

Важное замечание о порядке

Порядок элементов в отношении критичен.

• отношение мальчиков к девочкам = 3:4
  
  
• отношение девочек к мальчикам = 4:3
  
  

Числа обязательно меняются местами.

Пропорции: основной инструмент решения задач

Большинство задач на отношения решается через пропорции — уравнения вида:

дробь = дробь

Обычно:

• одна дробь — это заданное отношение;
  
  
• вторая дробь — отношение абсолютных величин.
  
  

Пример 1: нахождение неизвестного количества

Условие:
В классе отношение мальчиков к девочкам равно 5:8.
Если девочек 40, сколько мальчиков?

Решение

Записываем отношение в дробной форме:

• мальчики / девочки = 5/8
  
  

Составляем вторую дробь из абсолютных величин:

• x / 40
  
  

Приравниваем:

x / 40 = 5 / 8

Замечаем, что 40 кратно 8. Используем горизонтальное сокращение:

40 ÷ 8 = 5

Теперь:

x = 5 × 5 = 25

Ответ: 25 мальчиков

Пример 2: использование масштабного множителя (очень важно)

Условие:
В классе отношение мальчиков к девочкам равно 3:7.
Девочек на 32 больше, чем мальчиков.
Сколько мальчиков?

Почему не стоит идти через алгебру

Можно:

• ввести переменные B и G,
  
  
• составить систему уравнений,
  
  
• решить её алгебраически.
  
  

Но это долго и неэффективно для экзамена.

Элегантное решение через масштабный множитель

Из отношения 3:7:

• мальчики = 3n
  
  
• девочки = 7n
  
  

Разница:

7n − 3n = 4n

По условию:

4n = 32

Отсюда:

n = 8

Число мальчиков:

3n = 3 × 8 = 24

Ответ: 24 мальчика

Экзаменационный вывод

Масштабный множитель — магическое звено между отношением и реальными количествами.
Это один из самых мощных приёмов в задачах Quant.

Отношение части к целому (portioning)

Пусть отношение мальчиков к девочкам равно 3:5.

Тогда:

• мальчики = 3 части,
  
  
• девочки = 5 частей,
  
  
• всего = 8 частей.
  
  

Следовательно:

• доля мальчиков = 3/8 от всего класса.
  
  

Этот приём называется portioning — разбиение целого на части.

Отношения с тремя и более категориями

До сих пор мы рассматривали два элемента, но на практике (и на экзамене) возможны 3 или 4 категории.

На GMAT такие отношения всегда даются через двоеточие.

Пример 3: отношение с тремя компонентами

Условие:
Бетон изготавливается в отношении 1:2:3
(цемент : песок : гравий).

Если имеется 150 кг песка,
сколько килограммов бетона можно изготовить,
если цемента и гравия достаточно?

Решение

Сначала считаем общее количество частей:

1 + 2 + 3 = 6 частей

Песок — это 2 части из 6, то есть:

• песок составляет 2/6 = 1/3 от общего веса бетона.
  
  

Теперь составляем пропорцию:

150 / x = 1 / 3

Перемножаем:

x = 150 × 3 = 450

Ответ: 450 кг бетона

Итоговые выводы

В этой главе мы разобрали:

1. Что такое отношение и что оно не означает
   
   
   • отношение не даёт информации об абсолютных величинах.
     
     
2. Масштабный множитель
   
   
   • ключевой инструмент для быстрых и элегантных решений.
     
     
3. Различные формы записи отношений
   
   
   • дробная форма — самая полезная для вычислений.
     
     
4. Пропорции как основной метод решения задач.
   
   
5. Отношения части к целому (portioning).
   
   
6. Отношения с тремя и более категориями.
   
   

Уверенное владение этими идеями — обязательная основа для решения сложных задач Quant на GMAT и GRE. Далее перейдем к объединению отношений.