Умножение алгебраических выражений

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В предыдущем уроке мы разбирали сложение и вычитание алгебраических выражений. Теперь переходим к умножению выражений. Начнём с двух относительно простых, но фундаментальных случаев:

• моном × моном
  
  
• моном × бином
  
  

Прежде чем переходить к примерам, необходимо чётко понимать базовые арифметические принципы, на которых строится вся алгебра.

Арифметические принципы, которые обязательно помнить

Коммутативность и ассоциативность умножения

Умножение:

• коммутативно — порядок множителей не влияет на результат;
  
  
• ассоциативно — способ группировки множителей не влияет на результат.
  
  

Примеры:

• A × B × C × D = B × A × D × C
  
  
• (A × D) × (B × C) = C × (B × D × A)
  
  

Пока все множители перемножаются, результат один и тот же.

Распределительный закон (distributive law)

Умножение распределяется на сложение и вычитание:

• A × (B + C) = A × B + A × C
  
  
• A × (B − C) = A × B − A × C
  
  

❗ Важное предупреждение:

Умножение не распределяется на умножение.

Пример ошибки:

• 3 × (x y) ≠ (3 × x) × (3 × y)
  
  

На самом деле:

• 3 × (x y) = 3x y
  
  

Здесь x y — один член, а не сумма.

Это тонкая, но очень распространённая ошибка.

Умножение числа на моном

Если умножаем число (константу) на моном, то:

• число умножает коэффициент;
  
  
• буквенная часть остаётся без изменений.
  
  

Примеры

• 7 × 5x в квадрате = 35x в квадрате
  
  
• 2 × r в четвёртой степени × s в квадрате × t в кубе
  Коэффициент равен 1, значит результат:
  2r в четвёртой степени s в квадрате t в кубе
  
  

Деление монома на число

Деление на число — это то же самое, что умножение на его обратное.

Пример:

• 15x в шестой степени y в двенадцатой степени / 3
  
  

Делим коэффициент:

• 15 / 3 = 5
  
  

Результат:

• 5x в шестой степени y в двенадцатой степени
  
  

Переменные не меняются.

Умножение двух мономов

Степени одной переменной

Напоминание:

• x × x = x в квадрате
  
  
• x в квадрате × x = x в кубе
  
  

Общее правило:

• x в степени a × x в степени b = x в степени (a + b)
  
  

При умножении степеней показатели складываются.

Примеры

Пример 1

3x × 4x в квадрате

• коэффициенты: 3 × 4 = 12
  
  
• степени x: 1 + 2 = 3
  
  

Результат:

• 12x в кубе
  
  

Пример 2

7x в квадрате y в квадрате × 6x y в кубе

• коэффициенты: 7 × 6 = 42
  
  
• x: 2 + 1 = 3 → x в кубе
  
  
• y: 2 + 3 = 5 → y в пятой степени
  
  

Результат:

• 42x в кубе y в пятой степени
  
  

❗ Важно:

• степени разных переменных не смешиваются;
  
  
• степени x складываются только с x, степени y — только с y.
  
  

Моном × бином

Для этого используется распределительный закон.

Общий принцип

A × (B + C) = A × B + A × C

Моном умножается на каждый член бинома отдельно.

Пример

7x в квадрате × (x в кубе + 2x в квадрате)

Распределяем:

• 7x в квадрате × x в кубе = 7x в пятой степени
  
  
• 7x в квадрате × 2x в квадрате = 14x в четвёртой степени
  
  

Результат:

• 7x в пятой степени + 14x в четвёртой степени
  
  

Моном × трином (обобщение)

Принцип тот же самый.

Пример

5x × (x в квадрате − 3x + 4)

Распределяем:

• 5x × x в квадрате = 5x в кубе
  
  
• 5x × (−3x) = −15x в квадрате
  
  
• 5x × 4 = 20x
  
  

Результат:

• 5x в кубе − 15x в квадрате + 20x
  
  

Если в скобках больше членов, моном умножается на каждый из них.

Итоговые выводы

В этом уроке мы разобрали основы умножения алгебраических выражений:

1. Умножение подчиняется обычным арифметическим законам:
   
   
   • коммутативности,
     
     
   • ассоциативности,
     
     
   • распределительности.
     
     
2. При умножении мономов:
   
   
   • коэффициенты перемножаются;
     
     
   • степени одинаковых переменных складываются;
     
     
   • разные переменные обрабатываются отдельно.
     
     
3. При умножении монома на бином или трином:
   
   
   • используется распределительный закон;
     
     
   • моном умножается на каждый член по отдельности.
     
     

В следующем уроке мы перейдём к умножению двух биномиальных выражений, что является следующим важным шагом в алгебре Quant.