Упрощение корней

Упрощение корней — критически важная тема для GMAT Quant. Очень часто в процессе решения вы получаете квадратный корень из большого числа, но в ответах такого вида не будет. Все варианты ответа даны в упрощённой форме, и вы обязаны уметь привести радикал именно к такому виду.

1. Ключевая идея упрощения

Из предыдущих уроков:

Корень произведения равен произведению корней.

Это означает:

• квадратный корень из (P × Q) = квадратный корень из P × квадратный корень из Q

   

Следовательно, если под корнем есть множитель, являющийся полным квадратом, его можно вынести из-под радикала.

2. Полные квадраты, которые нужно знать автоматически

Важно уверенно узнавать полные квадраты. Например:

• 1 → 1

   

• 4 → 2

   

• 9 → 3

   

• 16 → 4

   

• 25 → 5

   

• 36 → 6

   

• 49 → 7

   

• 64 → 8

   

• 81 → 9

   

• 100 → 10

   

Если вы мгновенно видите такие множители под корнем, упрощение становится механическим.

3. Базовый пример: квадратный корень из 75

Квадратный корень из 75 никогда не будет вариантом ответа на GMAT. Его нужно упростить.

Шаги:

1. Разложим число под корнем:

    

• 75 = 25 × 3

   

1. Разделим корень произведения:

    

• квадратный корень из 75 = квадратный корень из 25 × квадратный корень из 3

   

1. Упростим:

    

• квадратный корень из 25 = 5

   

Ответ:

• 5 корень из 3

   

Именно 5√3 — стандартная форма, которая появится в ответах.

4. Типовые примеры

Пример 1: квадратный корень из 12

• 12 = 4 × 3

   

• квадратный корень из 12 = 2 корень из 3

   

Пример 2: квадратный корень из 63

• 63 = 9 × 7

   

• квадратный корень из 63 = 3 корень из 7

   

Пример 3: квадратный корень из 80

• 80 = 16 × 5

   

• квадратный корень из 80 = 4 корень из 5

   

Пример 4: квадратный корень из 175

• 175 = 25 × 7

   

• квадратный корень из 175 = 5 корень из 7

   

5. Большие числа под корнем

Если число большое, ищите большие полные квадраты, прежде всего 100.

Пример: квадратный корень из 2800

1. Выносим 100:

    

• 2800 = 100 × 28

   

• квадратный корень из 2800 = 10 корень из 28

   

1. Упрощаем дальше:

    

• 28 = 4 × 7

   

• квадратный корень из 28 = 2 корень из 7

   

1. Итог:

    

• 10 × 2 корень из 7 = 20 корень из 7

   

Это полностью упрощённая форма.

6. Сложение корней: важный тестовый момент

Корни нельзя складывать внутри радикала.

Нельзя:

• квадратный корень из (48 + 75 + 192)

   

Нужно:

• упростить каждый корень отдельно

   

• затем сложить одинаковые радикалы

   

Пример:

квадратный корень из 48 + квадратный корень из 75 + квадратный корень из 192

Упрощаем по отдельности:

1. квадратный корень из 48

    

• 48 = 16 × 3

   

• = 4 корень из 3

   

1. квадратный корень из 75

    

• = 5 корень из 3

   

1. квадратный корень из 192

    

• 192 = 64 × 3

   

• = 8 корень из 3

   

Теперь складываем:

• 4 корень из 3 + 5 корень из 3 + 8 корень из 3

   

• = (4 + 5 + 8) корень из 3

   

• = 17 корень из 3

   

7. Общая стратегия упрощения корней

1. Найти наибольший возможный полный квадрат под радикалом

    

2. Вынести его из-под корня

    

3. Повторить процесс, пока под корнем не останется множителей без квадратных пар

    

4. При сложении — складывать только одинаковые радикалы

    

Итоги

• Корни упрощаются путём вынесения полных квадратов

   

• GMAT не показывает ответы в неупрощённом виде

   

• Любая степень простого числа с чётным показателем — это полный квадрат

   

• При сложении радикалов сначала упрощайте каждый, затем объединяйте одинаковые

   

Навык упрощения корней — обязательный для уверенного и быстрого решения задач GMAT Quant.

Рассмотрим также какие операции мы можем проводить с корнями.