Законы степеней

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

В этом модуле мы начинаем разбирать законы степеней. Это один из самых важных разделов Quant, потому что эти закономерности верны для всех чисел и постоянно используются в заданиях GMAT.

Ключевая идея:
не заучивать правила механически, а понимать их, опираясь на фундаментальное определение степени:
степень — это количество одинаковых множителей.

Если вы каждый закон можете объяснить через «сколько множителей», вы никогда не перепутаете правила.

1. Произведение степеней с одинаковым основанием

Идея через определение степени

Рассмотрим конкретный пример:

9 в степени 5 × 9 в степени 3

• 9 в степени 5 — это 5 множителей 9
  
  
• 9 в степени 3 — это 3 множителя 9
  
  

При умножении все множители просто объединяются в один длинный набор:

Всего получаем 5 + 3 = 8 множителей 9

Следовательно:

• 9 в степени 5 × 9 в степени 3 = 9 в степени 8
  
  

Обобщение

Если:

• 7 в степени m × 7 в степени n
  
  

то:

• в первом выражении m множителей 7
  
  
• во втором — n множителей 7
  
  

Итого:

• m + n множителей 7
  
  

Закон:

a в степени m × a в степени n = a в степени (m + n)

2. Деление степеней с одинаковым основанием

Снова начнём с чисел, а не с абстрактных букв.

Числовой пример

12 в степени 7 / 12 в степени 3

• в числителе: 7 множителей 12
  
  
• в знаменателе: 3 множителя 12
  
  

Три множителя сокращаются:

Остаётся 7 − 3 = 4 множителя 12

Следовательно:

• 12 в степени 7 / 12 в степени 3 = 12 в степени 4
  
  

Обобщение

Пусть m > n:

• a в степени m / a в степени n
  
  

В знаменателе n множителей a, они сокращаются с числителем.
Остаётся m − n множителей a.

Закон:

a в степени m / a в степени n = a в степени (m − n), при m > n

3. Нулевая степень

Теперь можно корректно определить, что такое степень 0.

Возьмём:

• a в степени 3 / a в степени 3
  
  

Любое число, делённое само на себя, равно 1 (при a ≠ 0).

По закону деления степеней:

• a в степени (3 − 3) = a в степени 0
  
  

Значит:

• a в степени 0 = 1, при a ≠ 0
  
  

Важно:

• 0 в степени 0 не рассматривается на GMAT
  
  
• достаточно помнить: любое ненулевое число в нулевой степени равно 1
  
  

4. Степень степени (power to a power)

Теперь рассмотрим выражение вида:

• (a в степени m) в степени n
  
  

Числовой пример

(6 в степени 5) в степени 3

• 6 в степени 5 — это 5 множителей 6
  
  
• возведение в куб означает умножение этого выражения на себя 3 раза
  
  

Итого:

• 3 группы по 5 множителей
  
  
• всего 3 × 5 = 15 множителей 6
  
  

Следовательно:

• (6 в степени 5) в степени 3 = 6 в степени 15
  
  

Обобщение

Внутри скобок — m множителей a
Скобки повторяются n раз

Общее число множителей:

• m × n
  
  

Закон:

(a в степени m) в степени n = a в степени (m × n)

5. Итоговые законы степеней (часть I)

1. Произведение степеней
   a в степени m × a в степени n = a в степени (m + n)
   
   
2. Частное степеней
   a в степени m / a в степени n = a в степени (m − n)
   
   
3. Нулевая степень
   a в степени 0 = 1, при a ≠ 0
   
   
4. Степень степени
   (a в степени m) в степени n = a в степени (m × n)
   
   

6. Типичные ошибки на GMAT

GMAT активно проверяет ошибочные шаблоны, поэтому важно знать не только верные правила, но и типичные ловушки.

Ошибка 1: разные основания

Законы степеней работают только при одинаковых основаниях.

Нельзя:

• 2 в степени 3 × 3 в степени 5 → это не 6 в какой-то степени
  
  
• 12 в степени 7 / 4 в степени 5 → это не 3 в какой-то степени
  
  

Если основания разные — законы степеней не применяются.

Ошибка 2: умножение степеней → умножение показателей

Неверно:

• a в степени 3 × a в степени 5 = a в степени 15
  
  

Правильно:

• a в степени 3 × a в степени 5 = a в степени 8
  
  

Ошибка 3: деление степеней → деление показателей

Неверно:

• a в степени 6 / a в степени 3 = a в степени 2
  
  

Правильно:

• a в степени 6 / a в степени 3 = a в степени 3
  
  

Ошибка 4: степень степени → сложение показателей

Неверно:

• (a в степени 6) в степени 8 = a в степени 14
  
  

Правильно:

• (a в степени 6) в степени 8 = a в степени 48
  
  

Ошибка 5: ожидание закона для суммы или разности

Не существует закона степеней для:

• a в степени 4 + a в степени 7
  
  
• b в степени 8 − b в степени 2
  
  

Такие выражения нельзя упростить напрямую.
Позже мы будем решать их через вынесение общего множителя.

7. Финальный вывод

Глубокое понимание степеней — это:

• знание правил
  
  
• понимание, почему они работают
  
  
• осознание типичных ошибок
  
  

Если вы каждый закон можете вывести из идеи «сколько множителей», вы будете стабильно и уверенно решать задачи GMAT Quant на степени.

Нам также стоит обратить внимание на отрицательные показатели степени.