Неравенства с модулем (через идею расстояния)

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В этом уроке мы разбираем неравенства с модулем. Здесь критично понимать модуль как расстояние на числовой прямой. Если это понимание не закреплено, сначала стоит повторить базовую тему про модуль.

1. Модуль как расстояние

Расстояние от нуля

• |x| — это расстояние от x до 0
  
  

Расстояние от числа a

Чтобы найти расстояние от x до числа a, мы используем разность:

• расстояние от x до a = |x — a|
  
  

Пример:

• |x — 5| — расстояние от x до 5
  
  

Проверка:

• если x = 8 → |8 — 5| = |3| = 3
  
  
• если x = 2 → |2 — 5| = |-3| = 3
  
  

Оба числа находятся на расстоянии 3 от 5.

2. Почему «минус отрицательное» даёт плюс

Расстояние от x до -3:

• |x — (-3)| = |x + 3|
  
  

Это выглядит неинтуитивно, но причина проста:

• мы вычитаем -3
  
  
• вычитание отрицательного превращается в сложение
  
  

Проверка:

• x = -4 → |-4 + 3| = |-1| = 1 (и действительно, -4 на 1 шаг от -3)
  
  
• x = 4 → |4 + 3| = |7| = 7 (и действительно, от 4 до -3 расстояние 7)
  
  

3. Основная идея: «центр» и «радиус»

Неравенство вида:

• |x — a| < k
  
  

означает:

x находится на расстоянии меньше k от точки a

То есть x лежит между:

• a — k и a + k
  
  

А если знак ≤, то концы включены.

4. Перевод модуля в обычное неравенство

Пример 1

Преобразовать:

• |x — 7| ≤ 3
  
  

Шаг 1. Центр

Центр — это 7.

Шаг 2. Радиус

Допустимое расстояние — 3.

Шаг 3. Диапазон

• 7 — 3 ≤ x ≤ 7 + 3
  
  
• 4 ≤ x ≤ 10
  
  

Ответ

• 4 ≤ x ≤ 10
  
  

Эти две записи эквивалентны и описывают один и тот же набор значений x.

5. Перевод обычного неравенства в модуль

Пример 2

Преобразовать:

• 5 < x < 17
  
  

Идея: модуль описывает «насколько далеко от центра».

Шаг 1. Найти центр (середину отрезка)

Центр — это среднее арифметическое концов:

• (5 + 17) / 2 = 22 / 2 = 11
  
  

Шаг 2. Найти радиус (расстояние от центра до конца)

• 17 — 11 = 6
  
  
• 11 — 5 = 6
  
  

Радиус = 6.

Шаг 3. Записать модуль

• |x — 11| < 6
  
  

Важно: знак строгий (<), поэтому концы не включены.

Ответ

• |x — 11| < 6
  
  

6. Пример по графику (интерпретация числовой прямой)

Допустим, на числовой прямой отмечен интервал:

• от 20 до 90
  
  
• в точках 20 и 90 стоят пустые кружки (концы не включены)
  
  

Тогда обычная запись:

• 20 < x < 90
  
  

Теперь перевод в модуль:

Шаг 1. Центр

• (20 + 90) / 2 = 110 / 2 = 55
  
  

Шаг 2. Радиус

• 90 — 55 = 35
  
  
• 55 — 20 = 35
  
  

Шаг 3. Модуль

• |x — 55| < 35
  
  

Ответ

• |x — 55| < 35
  
  

7. Ещё пример

Преобразовать:

• -3 ≤ x ≤ 11
  
  

Шаг 1. Центр

• (-3 + 11) / 2 = 8 / 2 = 4
  
  

Шаг 2. Радиус

• 11 — 4 = 7
  
  
• 4 — (-3) = 7
  
  

Шаг 3. Модуль

Концы включены, значит знак ≤:

• |x — 4| ≤ 7
  
  

Ответ

• |x — 4| ≤ 7
  
  

Итоговые правила (как шаблон)

Из модуля в диапазон

• |x — a| ≤ k ⇔ a — k ≤ x ≤ a + k
  
  
• |x — a| < k ⇔ a — k < x < a + k
  
  

Из диапазона в модуль

Если:

• L < x < R
  
  

Тогда:

• центр = (L + R) / 2
  
  
• радиус = (R — L) / 2
  
  
• |x — центр| < радиус
  
  

Если концы включены (≤), то и в модуле будет ≤.

Ключевой вывод

Неравенства с модулем становятся простыми, если мыслить модуль как расстояние:

• центр — точка, от которой измеряем
  
  
• радиус — максимально допустимое расстояние
  
  
• знак (< или ≤) определяет, включаются ли границы диапазона
  
  

Этот подход даёт быстрый и надёжный способ решать такие задачи на GMAT Quant. Изучим также упрощение с помощью подстановок.