Data Sufficiency с целочисленными ограничениями

Эта тема является частью раздела Data Insights в GMAT Focus.

В предыдущих уроках мы подчёркивали важное правило: нельзя считать числа целыми или положительными, если это не указано явно. Однако есть ситуации, когда целочисленные (или положительные целочисленные) ограничения подразумеваются самим условием задачи.

В этом уроке разберём, когда и почему такие ограничения допустимы и как они радикально меняют анализ Data Sufficiency.

Когда можно считать, что числа — целые?

1. Прямое указание в условии

Если в задаче явно сказано:

• целое число
  
  
• положительное целое число
  
  

→ вопросов нет, ограничение задано явно.

2. Математические термины, которые по определению означают целые числа

Если в задаче встречаются слова из области integer properties, то это автоматически означает работу с целыми числами:

• делители (factors) положительного целого числа → всегда положительные целые
  
  
• кратные (multiples) → целые числа
  
  
• остатки (remainders) → целые числа
  
  
• простые числа (prime numbers) → целые
  
  
• чётные / нечётные числа → всегда целые
  
  

Если вы видите любой из этих терминов — дроби и десятичные числа автоматически исключаются.

3. Скрытые целочисленные ограничения в текстовых задачах

Очень часто в word problems целочисленные ограничения не прописаны явно, но следуют из здравого смысла и реального контекста.

Типичные примеры:

• количество людей
  
  
• возраст
  
  
• коробки, билеты, книги
  
  
• машины, предметы, единицы товара
  
  

👉 Все эти величины могут принимать только положительные целые значения.

Это называется скрытое целочисленное ограничение, и GMAT активно использует его в DS.

Пример 1. Коробки и скрытые ограничения

Условие:
Большие коробки стоят 7 долларов, маленькие — 4.50 доллара.
x — количество больших коробок, y — количество маленьких коробок.

Известно:

• x + y = 12
  
  

Вопрос: Чему равно x?

Анализ без учёта целых чисел (ошибочный подход)

Если рассматривать x и y как непрерывные величины:

• одно уравнение
  
  
• две переменные
  
  
• плюс неравенства
  
  

Кажется, что информации недостаточно.

Важное наблюдение

x и y — количество коробок → положительные целые числа.

Это принципиально меняет ситуацию.

Анализ утверждений

(1) Общая стоимость покупки меньше 70 долларов
(2) x > 5

По отдельности:

• (1) → возможны разные комбинации
  
  
• (2) → возможны разные комбинации
  
  

👉 по отдельности недостаточны → смотрим вместе.

Совместный анализ

Минимальная стоимость 12 коробок — если все маленькие:

12 × 4.50 = 54

Каждая замена одной маленькой коробки на большую увеличивает стоимость на:
7 − 4.50 = 2.50

Проверим возможные варианты:

• x = 0 → 54
  
  
• x = 2 → 59
  
  
• x = 4 → 64
  
  
• x = 6 → 69
  
  
• x = 7 → уже больше 70 (не подходит)
  
  

С учётом условия x > 5:

• единственный возможный вариант: x = 6
  
  

👉 Совместно утверждения дают однозначный ответ.

Ответ: C

Пример 2. Проценты и делимость

Условие:
95% сотрудников компании владеют акциями.
N — общее число сотрудников.

Вопрос: Чему равно N?

Ключевой принцип

На GMAT:

• 95% означает ровно 95%, не приблизительно
  
  
• 5% = 1/20
  
  

Значит:

• 1/20 от N — целое число
  
  
• N делится на 20
  
  

Это ограничение вытекает прямо из условия.

Утверждение (1)

N находится в заданном диапазоне, и в этом диапазоне только одно число, кратное 20.

👉 Можно определить N однозначно → достаточно.

Утверждение (2)

N кратно 7.

Но:

• N должно быть кратно и 7, и 20
  
  
• возможны значения: 140, 280, 420, 560, …
  
  

👉 Однозначного ответа нет → недостаточно.

Ответ

(1) достаточно, (2) недостаточно → A

Ключевые выводы

1. Числа являются целыми, если:
   
   
   • это сказано явно;
     
     
   • используются термины из integer properties;
     
     
   • этого требует реальный контекст задачи.
     
     
2. Текстовые задачи часто содержат скрытые целочисленные ограничения.
   
   
3. Точные проценты и дроби накладывают строгие требования на размер группы:
   
   
   • 5% → делимость на 20
     
     
   • 25% → делимость на 4
     
     
   • 40% → делимость на 5
     
     
4. На GMAT проценты всегда точные, не приблизительные.
   
   

Умение замечать эти ограничения — один из самых сильных навыков в Data Sufficiency.

Далее рассмотрим тавтологические утверждения в Data Sufficiency.