Примеры применения обобщённого правила AND

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

Теперь рассмотрим конкретные примеры обобщённого правила AND и посмотрим, как оно применяется в реальных задачах.

Напомним формулы:

• P(A и B) = P(A) × P(B | A)
  
  
• P(A и B) = P(B) × P(A | B)
  
  

Здесь выражения P(B | A) и P(A | B) — это условные вероятности, о которых мы говорили в предыдущем уроке.

Эти формулы используются тогда, когда события не являются независимыми.
Если же события независимы, применяется более простое правило — обычное умножение вероятностей.

Когда на экзамене используется обобщённое правило AND

На практике почти все задачи GMAT и GRE, где требуется обобщённое правило AND, связаны с ситуациями выбора без возвращения.

Напоминание: что значит «без возвращения»

Выбор без возвращения означает, что:

• каждый следующий выбор происходит из уменьшенного набора,
  
  
• каждый сделанный выбор меняет вероятности всех последующих.
  
  

Пример с картами:

• первая карта выбирается из 52,
  
  
• вторая — из 51,
  
  
• третья — из 50,
  
  
• и так далее.
  
  

Если, например, первые две выбранные карты — червы, то вероятность того, что третья карта тоже будет червой, становится меньше, потому что червей в колоде осталось меньше.

Пример 1. Шары в коробке

Условие:
В коробке 5 зелёных шаров и 7 красных шаров.
Все шары равновероятны.
Шары выбираются без возвращения.

Вопрос:
Какова вероятность того, что первые два шара — зелёные?

Шаг 1. Вероятность первого выбора

Всего шаров:
5 + 7 = 12

Вероятность того, что первый шар зелёный:

5/12

Шаг 2. Условная вероятность второго выбора

После того как первый зелёный шар выбран:

• в коробке остаётся 11 шаров,
  
  
• из них 4 зелёных.
  
  

Вероятность того, что второй шар зелёный при условии, что первый был зелёным:

4/11

Шаг 3. Применяем обобщённое правило AND

P(два зелёных) = 5/12 × 4/11

Перед умножением обязательно сокращаем дроби:

• сокращаем 4 и 12 → получаем 1 и 3
  
  

Итог:

5 / (3 × 11) = 5/33

Ответ

Вероятность того, что первые два шара будут зелёными, равна 5/33.

Пример 2. Три червы из колоды без возвращения

Условие:
Из стандартной перетасованной колоды из 52 карт выбираются первые 3 карты без возвращения.

Вопрос:
Какова вероятность того, что все три карты — червы?

Шаг 1. Первая карта

В стандартной колоде:

• 4 масти,
  
  
• по 13 карт каждой масти.
  
  

Вероятность того, что первая карта — черва:

1/4

Шаг 2. Вторая карта (условная вероятность)

После того как первая карта — черва:

• в колоде остаётся 51 карта,
  
  
• червей осталось 12.
  
  

Вероятность того, что вторая карта — черва при условии, что первая была червой:

12/51

Сократим дробь:

12/51 = 4/17

Шаг 3. Третья карта (условная вероятность)

После двух червей:

• в колоде остаётся 50 карт,
  
  
• червей осталось 11.
  
  

Вероятность того, что третья карта — черва при условии, что первые две были червами:

11/50

Шаг 4. Перемножаем вероятности

P(3 червы) = 1/4 × 4/17 × 11/50

Сокращаем 4 в числителе и знаменателе:

P(3 червы) = 11 / (17 × 50)

17 × 50 = 850

Ответ

Вероятность того, что первые три карты окажутся червами, равна 11/850.

Экзаменационные выводы

• Обобщённое правило AND используется при зависимых событиях.
  
  
• Формальный признак зависимости — фраза «без возвращения».
  
  
• Вероятности считаются пошагово, с использованием условных вероятностей.
  
  
• Всегда сокращайте дроби до умножения, чтобы избежать громоздких вычислений.
  
  
• Обобщённое правило AND — одно из самых часто проверяемых правил в разделе Probability на GMAT и GRE.
  
  

На следующем этапе мы объединим правила AND и OR и научимся быстро определять, какое правило и в какой форме применять в конкретной экзаменационной задаче.

Следующей главой будет глава о биномиальной ситуации.