Системы уравнений: два уравнения с двумя неизвестными

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

До этого момента в алгебре мы рассматривали уравнения с одной переменной, например:

2x + 7 = 15

Такие уравнения имеют единственное решение.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда в уравнении две переменные, например:

2x + 3y = 15

Одно уравнение с двумя переменными

Что значит «решить» такое уравнение?

Если уравнение содержит две переменные, то существует множество пар значений (x, y), которые делают уравнение верным.

Примеры решений для уравнения 2x + 3y = 15:

• x = 0, y = 5

   

• x = 3, y = 3

   

• x = 6, y = 1

   

• x = 9, y = -1

   

• x = -3, y = 7

   

• x = 7.5, y = 0

   

• x = 4, y = 2.333…

   

Обратите внимание:

• Переменные не обязаны быть положительными

   

• Переменные не обязаны быть целыми

   

• Таких решений бесконечно много

   

Геометрическая интерпретация

Если нанести все решения на координатную плоскость (x-y), они лежат на одной прямой.

Важно понимать ключевую идею:

Одно линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное число решений.

Поэтому невозможно корректно попросить «решить» одно уравнение с двумя неизвестными, так как решений бесконечно много.

Система из двух уравнений с двумя переменными

Теперь рассмотрим две линейные зависимости одновременно. Это называется системой уравнений.

Пример системы:

• x + 2y = 11

   

• 3x + 2y = 1

   

Ключевая идея

Каждое уравнение представляет собой прямую.
Решением системы является точка, которая одновременно принадлежит обеим прямым, то есть точка их пересечения.

Так как две произвольные прямые в плоскости, как правило, пересекаются в одной точке, система:

• обычно имеет единственное решение

   

• это решение — одна конкретная пара (x, y)

   

Методы решения системы уравнений

Существует два основных метода:

1. Метод подстановки (substitution)

    

2. Метод исключения (elimination / linear combination)

    

В этом уроке мы разбираем метод подстановки.

Метод подстановки

Общая идея

Цель метода — превратить:

• задачу с двумя уравнениями и двумя неизвестными

   

• в задачу с одним уравнением и одной неизвестной

   

Алгоритм:

1. Выразить одну переменную через другую в одном из уравнений

    

2. Подставить это выражение во второе уравнение

    

3. Решить полученное уравнение с одной переменной

    

4. Найти вторую переменную подстановкой

    

Пример решения методом подстановки

Дана система:

• x + 2y = 11

   

• 3x + 2y = 1

   

Шаг 1. Выразим одну переменную

Из первого уравнения удобно выразить x:

x = 11 — 2y

Шаг 2. Подставим во второе уравнение

Заменяем x во втором уравнении:

3(11 — 2y) + 2y = 1

Шаг 3. Решаем уравнение

Раскрываем скобки и приводим подобные:

• 33 — 6y + 2y = 1

   

• 33 — 4y = 1

   

• -4y = -32

   

• y = 8

   

(В оригинальном примере использовались другие коэффициенты; логика решения та же.)

Шаг 4. Находим вторую переменную

Подставляем y = 8 в выражение для x:

x = 11 — 2y
x = 11 — 16
x = -5

Итоговое решение

x = -5
y = 8

Это единственная точка, которая удовлетворяет обоим уравнениям системы.

Когда метод подстановки удобен

Метод подстановки наиболее эффективен, когда:

• коэффициент при одной из переменных равен 1 или -1

   

Пример удобного уравнения:

• x + 2y = 11

   

Пример неудобного уравнения:

• 4x + 5y = 13

   

Если попытаться выразить x:

• x = (13 — 5y) / 4

   

Появляются дроби, и вычисления становятся громоздкими. В таких случаях лучше использовать метод исключения, который мы разберем в следующем уроке.

Выводы

• Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное число решений

   

• Система из двух уравнений с двумя переменными обычно имеет единственное решение

   

• Геометрически это точка пересечения двух прямых

   

• Метод подстановки эффективен, если одну из переменных легко выразить

   

• Если подстановка приводит к дробям, предпочтительнее метод исключения

Следующей главой будет изучение метода исключения в системах уравнения.