Показательные уравнения

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится в показателе степени. В общем случае такие уравнения требуют продвинутой математики, но GMAT Quant даёт только те, которые решаются с помощью базовых законов степеней и корней, уже разобранных в модуле.

1. Базовый принцип решения

Ключевое правило:

Если основания равны и не равны 0, 1 или −1, то равенство степеней означает равенство показателей.

То есть:

• если b^x = b^y, то x = y
  
  

Это фундамент, на котором строятся все задачи GMAT по показательным уравнениям.

2. Простейший пример (слишком простой для теста)

• 2^x = 16
  
  

Замечаем:

• 16 = 2^4
  
  

Тогда:

• 2^x = 2^4
  
  
• x = 4
  
  

На реальном тесте такие задачи почти не встречаются — они слишком прямолинейны.

3. Типичная форма на GMAT: переменные в показателях по обе стороны

Пример:

• 7^(3x − 1) = 7^(x + 5)
  
  

Основания уже равны, значит:

• 3x − 1 = x + 5
  
  
• 2x = 6
  
  
• x = 3
  
  

Полезно понять механику, но GMAT редко даёт основания сразу одинаковыми.

4. Реальный формат GMAT: разные основания

Обычно основания разные, но их можно привести к общему виду.

Пример

• 49^x = 7^(6 − x)
  
  

Замечаем:

• 49 = 7^2
  
  

Переписываем:

• (7^2)^x = 7^(6 − x)
  
  
• 7^(2x) = 7^(6 − x)
  
  

Теперь основания равны:

• 2x = 6 − x
  
  
• 3x = 6
  
  
• x = 2
  
  

5. Уравнения с корнями и дробными показателями

Иногда основание задано через корень.

Пример

• (пятый корень из 3)^(2x) = 3^4
  
  

Шаги:

1. Переписываем корень как дробную степень:
   
   

• пятый корень из 3 = 3^(1/5)
  
  

1. Применяем закон степеней:
   
   

• (3^(1/5))^(2x) = 3^(2x/5)
  
  

1. Основания равны:
   
   

• 3^(2x/5) = 3^4
  
  

1. Приравниваем показатели:
   
   

• 2x/5 = 4
  
  
• 2x = 20
  
  
• x = 10
  
  

6. Самый частый сценарий на GMAT: оба основания — степени одного числа

Очень важно:

Чаще всего ни одно основание не является степенью другого,
но оба являются степенями третьего, меньшего числа.

Пример

• 27^(x − 1) = 81^2
  
  

Замечаем:

• 27 = 3^3
  
  
• 81 = 3^4
  
  

Переписываем:

• (3^3)^(x − 1) = (3^4)^2
  
  
• 3^(3x − 3) = 3^8
  
  

Теперь основания равны:

• 3x − 3 = 8
  
  
• 3x = 11
  
  
• x = 11/3
  
  

7. Общий алгоритм решения

1. Никогда не приравнивайте показатели, пока основания разные
   
   
2. Попробуйте:
   
   
   • выразить одно основание через другое
     
     
   • или выразить оба через общее меньшее основание
     
     
3. Используйте законы степеней, чтобы упростить выражения
   
   
4. Когда основания совпали — приравняйте показатели
   
   
5. Решите обычное линейное уравнение
   
   

8. Что тест НЕ будет делать

• не будет использовать основания 0, 1 или −1
  
  
• не будет требовать логарифмов
  
  
• не будет требовать продвинутых методов
  
  

Все задачи сводятся к:

• переписыванию оснований
  
  
• законам степеней
  
  
• аккуратной алгебре
  
  

Итоги

• Показательные уравнения на GMAT решаются без логарифмов
  
  
• Ключ — сделать основания одинаковыми
  
  
• Чаще всего оба основания являются степенями одного числа
  
  
• После выравнивания оснований задача превращается в обычную алгебру
  
  

Это завершающий логический блок темы степеней и корней: если вы уверенно владеете этими шагами, показательными уравнениями GMAT вас не удивит.

Далее мы изучим рационализацию знаменателя.