Последовательные процентные изменения

Эта тема является частью раздела проценты и отношения в Quant GMAT Focus.

В этом разделе рассматриваются задачи, в которых процентные увеличения и уменьшения происходят последовательно. Именно такие задачи GMAT и GRE особенно любят, потому что они систематически провоцируют предсказуемые ошибки.

Речь идёт о ситуациях, где:

• сначала происходит процентное увеличение,
  
  
• затем процентное уменьшение (или наоборот),
  
  
• либо несколько процентных изменений подряд.
  
  

Типичный пример — рост цены, а затем скидка для сотрудника. Интуитивно многие пытаются «сложить» или «вычесть» проценты, и именно здесь экзамен ловит большинство тестируемых.

Ключевая идея

Проценты в последовательности никогда не складываются и не вычитаются.
Они всегда комбинируются через множители, которые перемножаются.

Это правило работает всегда, без исключений.

Классическая ловушка: рост и падение на одинаковый процент

Пример 1

Условие:
Товар стоил 100. В начале года цена выросла на 30%. После этого сотрудник купил товар со скидкой 30%.
Какую цену заплатил сотрудник?

Остановитесь на секунду и попробуйте решить задачу самостоятельно.

Самая распространённая ошибка

Ответ 100 — это ловушка.
Более половины сдающих экзамен выбирают именно его, и он неверен.

Почему возникает ошибка:

• 30% вверх,
  
  
• 30% вниз,
  
  
• «кажется», что они компенсируют друг друга.
  
  

Они не компенсируются.

Правильное решение через множители

• 30% увеличение → множитель 1.3
  
  
• 30% уменьшение → множитель 0.7
  
  

Последовательное изменение:

100 × 1.3 × 0.7 = 91

Ответ: 91

Почему это логично

• Цена сначала выросла с 100 до 130.
  
  
• Скидка 30% применяется к 130, а не к 100.
  
  
• 30% от 130 больше, чем 30% от 100.
  
  
• Поэтому итоговая цена становится меньше 100.
  
  

Последовательные изменения с разными процентами

Пример 2

Условие:
Цена товара выросла на 30%, затем сотрудник получил скидку 40%.
На сколько процентов итоговая цена меньше исходной?

Типичная ошибка

Многие делают так:

30 − 40 = −10%

И считают, что это 10% уменьшение.

Это гарантированная ошибка.
GMAT специально создаёт такие задачи, потому что ошибка возникает массово и предсказуемо.

Правильный подход

• 30% увеличение → множитель 1.3
  
  
• 40% уменьшение → множитель 0.6
  
  

Комбинируем:

1.3 × 0.6 = 0.78

Множитель 0.78 означает, что осталось 78% от исходной цены.

Итог:
Снижение на 22%

Несколько изменений подряд

Пример 3

Условие:
Цена акции:

• выросла на 20% в январе,
  
  
• упала на 50% в феврале,
  
  
• выросла на 40% в марте.
  
  

Каков общий процент изменения за первый квартал?

Ошибка, которую делает большинство

20 − 50 + 40 = 10%

Вывод: рост на 10%.

Это неверно.

Правильное решение

Определяем множители:

• 20% рост → 1.2
  
  
• 50% падение → 0.5
  
  
• 40% рост → 1.4
  
  

Перемножаем:

0.5 × 1.4 = 0.7
0.7 × 1.2 = 0.84

Множитель 0.84 означает, что осталось 84% от исходного значения.

Итог:
Снижение на 16%

Ключевые ошибки, которые проверяет GMAT

Ошибка 1

Рост и падение на одинаковый процент не возвращают к исходному значению.

Ошибка 2

В последовательных процентных изменениях нельзя:

• складывать проценты,
  
  
• вычитать проценты.
  
  

Это всегда даёт неправильный ответ.

Единственно правильный метод

1. Для каждого изменения определить множитель:
   
   
   • P% рост → 1 + P в десятичной форме
     
     
   • P% падение → 1 − P в десятичной форме
     
     
2. Перемножить все множители
   
   
3. Интерпретировать итоговый множитель как общий процент изменения
   
   

Итоговый вывод

Задачи на последовательные процентные изменения — один из самых частых источников ошибок в Quant-разделе.

Чтобы решать их правильно, нужно твёрдо усвоить:

• проценты никогда не складываются и не вычитаются;
  
  
• всегда используются множители;
  
  
• итоговый эффект определяется произведением множителей, а не суммой процентов.
  
  

Это фундаментальный экзаменационный навык, без которого невозможно стабильно решать задачи GMAT и GRE на проценты.

Далее нас интересуют для изучения простые и сложные проценты, затем введение в отношения.