Пересечения с осями

Эта тема является частью раздела о координатной плоскости в Quant GMAT Focus.

Пересечения прямой с осями — это точки, в которых прямая пересекает:

• ось X — X-пересечение (x-intercept),

   

• ось Y — Y-пересечение (y-intercept).

   

Иными словами:

• X-пересечение — это точка, где прямая пересекает ось X,

   

• Y-пересечение — это точка, где прямая пересекает ось Y.

   

Особые случаи

• Горизонтальные прямые имеют только Y-пересечение.
  Они параллельны оси X и никогда её не пересекают.

   

• Вертикальные прямые имеют только X-пересечение.
  Они параллельны оси Y и никогда её не пересекают.

   

• Любая прямая, проходящая через начало координат, имеет:

   

  • X-пересечение = 0,

     

  • Y-пересечение = 0.

     

Это единственный случай, когда наклонная прямая имеет оба пересечения в одной и той же точке.

Наклонные прямые и пересечения

Если наклонная прямая не проходит через начало координат, то:

• она имеет одно X-пересечение,

   

• и одно Y-пересечение,

   

• причём это две разные точки.

   

Эти две точки однозначно задают прямую.

Как найти пересечения по уравнению

Предположим, что нам дано уравнение прямой, и требуется найти её пересечения с осями.

Вспомним:

• уравнение оси X: y = 0,

   

• уравнение оси Y: x = 0.

   

Это означает:

• любая точка на оси X имеет y = 0,

   

• любая точка на оси Y имеет x = 0.

   

Нахождение X-пересечения

Чтобы найти X-пересечение:

• подставляем y = 0 в уравнение прямой,

   

• решаем полученное уравнение относительно x.

   

В результате получаем X-пересечение.

Нахождение Y-пересечения

Чтобы найти Y-пересечение:

• подставляем x = 0 в уравнение прямой,

   

• решаем уравнение относительно y.

   

В результате получаем Y-пересечение.

Пример

Пусть после подстановки y = 0 в уравнение мы получаем:

• 2x = 3

   

• x = 3/2

   

Значит, X-пересечение равно 3/2.

Теперь подставляем x = 0 и получаем:

• y = −1/2

   

Значит, Y-пересечение равно −1/2.

Два способа задания пересечений

Пересечения можно задавать двумя эквивалентными способами.

1. В виде чисел

• X-пересечение равно 5,

   

• Y-пересечение равно −3.

   

2. В виде точек

• (5, 0) — X-пересечение,

   

• (0, −3) — Y-пересечение.

   

Любая точка с y = 0 лежит на оси X, а значит является X-пересечением.
Любая точка с x = 0 лежит на оси Y, а значит является Y-пересечением.

Задача уровня GMAT

Условие:
X-пересечение и Y-пересечение прямой равны одному и тому же числу S.
Найти наклон этой прямой.

Решение:

Случай 1: S > 0

• Прямая пересекает ось X в точке (S, 0),

   

• и ось Y в точке (0, S).

   

• Оба пересечения находятся в положительном направлении осей.

   

• Абсолютные значения подъёма и пробега равны.

   

• Наклон отрицательный.

   

Следовательно, наклон равен −1.

Случай 2: S < 0

• Пересечения находятся в отрицательных направлениях осей.

   

• Прямая проходит через третий квадрант.

   

• Абсолютные значения подъёма и пробега снова равны.

   

• Знак наклона отрицательный.

   

Снова получаем наклон −1.

Оба треугольника наклона являются 45-45-90, что возможно только при наклоне ±1.
Так как прямая убывает, наклон равен −1.

Итоговые выводы

• X-пересечение — это точка, где прямая пересекает ось X.

   

• Y-пересечение — это точка, где прямая пересекает ось Y.

   

• Чтобы найти X-пересечение, подставляем y = 0.

   

• Чтобы найти Y-пересечение, подставляем x = 0.

   

• Пересечения можно задавать либо числами, либо точками вида:

   

  • (p, 0) — X-пересечение,

     

  • (0, q) — Y-пересечение.

     

Понимание пересечений с осями — ключевой навык для анализа уравнений прямых и построения их графиков на GMAT.

Далее мы изучим главу о формах наклонах и пересечениях.