Три уравнения с тремя неизвестными

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

Ситуация с тремя уравнениями и тремя неизвестными встречается на GMAT крайне редко. Как правило, такие задачи появляются только в более сложных вариантах экзамена. Тем не менее, их логика полностью опирается на уже знакомые идеи, поэтому этот случай важно понимать.

Предположим, что нам дана система из трех уравнений с тремя переменными, и по условию требуется найти числовые значения всех трех переменных.

Три ключевые идеи

Большая идея №1. Соотношение числа уравнений и неизвестных

Чтобы найти индивидуальные значения переменных, количество уравнений должно быть не меньше количества неизвестных.

• 1 уравнение, 2 переменные → решить нельзя

   

• 2 уравнения, 3 переменные → решить нельзя

   

• 3 уравнения, 3 переменные → решить можно

   

Это базовый принцип линейной алгебры и важное экзаменационное правило.

Большая идея №2. Иногда не нужно решать систему полностью

В некоторых задачах GMAT:

• не требуют найти x, y и z по отдельности

   

• вместо этого спрашивают значение выражения, например:

   

  • x + y

     

  • x — z

     

  • x + y + z

     

Во многих таких случаях существует короткий путь, который позволяет сразу найти значение выражения, не решая всю систему до конца.

Экзаменационная рекомендация:

Всегда проверяйте, что именно спрашивает задача, прежде чем начинать полное решение.

Большая идея №3. Сводите сложную задачу к простой

Большая часть математики строится на одном принципе:

превратить задачу, которую вы не умеете решать, в задачу, которую вы умеете решать.

В нашем случае:

• мы умеем решать системы
  с двумя уравнениями и двумя неизвестными

   

• значит, нужно свести задачу
  «3 уравнения — 3 неизвестных»
  к задаче
  «2 уравнения — 2 неизвестных»

   

Пример: пошаговое решение

Рассмотрим систему из трех уравнений (обозначим их A, B и C):

A: w — 2x + 3y = 13
B: 2w + x — 4y = -14
C: 3w — x + 2y = 8

Шаг 1. Уменьшаем число переменных

Первое, что бросается в глаза:

• в уравнении B есть +x

   

• в уравнении C есть -x

   

Это идеальная возможность исключить x.

Складываем уравнения B и C:

• (2w + x — 4y)

   

• (3w — x + 2y)

   

• 5w — 2y = -6

   

Обозначим это новое уравнение как D:

• D: 5w — 2y = -6

   

Теперь у нас одно уравнение с двумя неизвестными (w и y).

Шаг 2. Получаем второе уравнение с теми же неизвестными

Берем другую пару исходных уравнений и снова устраняем ту же самую переменную x.

Возьмем:

• A: w — 2x + 3y = 13

   

• B: 2w + x — 4y = -14

   

Чтобы устранить x:

• умножим уравнение B на 2

   

Получаем:

• 4w + 2x — 8y = -28

   

Теперь складываем с уравнением A:

• (w — 2x + 3y)

   

• (4w + 2x — 8y)

   

• 5w — 5y = -15

   

Обозначим это уравнение как E:

• E: 5w — 5y = -15

   

Шаг 3. Решаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными

Теперь у нас есть:

• D: 5w — 2y = -6

   

• E: 5w — 5y = -15

   

Обе левые части равны 5w, значит можно выразить 5w из каждого уравнения:

• из D: 5w = 2y — 6

   

• из E: 5w = 5y — 15

   

Приравниваем:

• 5y — 15 = 2y — 6

   

Решаем:

• 3y = 9

   

• y = 3

   

Шаг 4. Находим вторую переменную

Подставляем y = 3 в уравнение D:

• 5w = 2(3) — 6

   

• 5w = 0

   

• w = 0

   

Шаг 5. Находим третью переменную

Теперь возвращаемся к любому исходному уравнению, например к A:

• w — 2x + 3y = 13

   

• 0 — 2x + 9 = 13

   

• -2x = 4

   

• x = -2

   

Итоговое решение системы

• w = 0

   

• y = 3

   

• x = -2

   

Обобщённый алгоритм (важно для GMAT)

1. Выберите две из трех уравнений

    

2. Исключите одну переменную (почти всегда удобнее через elimination)

    

3. Возьмите другую пару исходных уравнений

    

4. Исключите ту же самую переменную

    

5. Получите систему из двух уравнений с двумя неизвестными

    

6. Решите её

    

7. Подставьте найденные значения в любое исходное уравнение

    

8. Найдите третью переменную

    

Ключевые выводы

• Системы с тремя уравнениями встречаются редко, но решаются стандартно

   

• Всегда показывает себя стратегия снижения размерности

   

• Elimination почти всегда предпочтительнее подстановки

   

• Иногда можно найти значение выражения, не решая всю систему

   

• Эта логика — прямое продолжение систем из двух уравнений

   

Этот подход полностью соответствует экзаменационной логике GMAT Quant и используется во всех более сложных алгебраических задачах. Следующими главами надо рассмотреть уравнения с модулем. И далее функциональную запись.