Рационализация знаменателя

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

В этом уроке мы разбираем рационализацию знаменателя — обязательный навык для GMAT Quant. На экзамене итоговые ответы всегда записаны без корней в знаменателе. Даже если ваше выражение математически верно, его нужно привести к стандартной форме, иначе вы просто не найдёте его среди вариантов ответа.

1. Зачем рационализировать

Корень в знаменателе считается плохим стилем по математической конвенции. Причины практические:

• удобнее сравнивать ответы, если знаменатели — рациональные числа
  
  
• легче складывать и вычитать дроби с целыми знаменателями
  
  
• все пишут ответы в одном формате
  
  

Следствие для GMAT:
если в процессе решения вы получили корень в знаменателе — ответ не финальный.

2. Случай 1: один корень в знаменателе

Если знаменатель — один радикал, рационализация выполняется просто.

Пример

• x = 12 / √3
  
  

Умножаем числитель и знаменатель на √3:

• (12 / √3) × (√3 / √3)
  
  

В знаменателе:

• √3 × √3 = 3
  
  

Упрощаем:

• 12 / 3 = 4
  
  

Итог:

• 4√3
  
  

Именно в таком виде ответ появится в вариантах.

Типовые примеры

1. 1 / √5
   → √5 / 5
   
   
2. 2 / √3
   → 2√3 / 3
   
   
3. 14 / √21
   → (14√21) / 21 = 2√21 / 3
   
   

3. Корень в знаменателе + числитель со сложением или вычитанием

Если знаменатель — один корень, наличие сложения или вычитания в числителе не меняет метод.

Пример

• (4 − √6) / (2√3)
  
  

Рационализируем только знаменатель:

• умножаем на √3 / √3
  
  

Выполняем упрощение:

• √6 = √2 × √3
  
  
• √3 × √3 = 3
  
  

Итог:

• (4√3 − 3√2) / 6
  
  

Это полностью рационализованная форма.

4. Случай 2: сумма или разность в знаменателе

Здесь обычное умножение на корень не сработает.
Нужен другой инструмент — сопряжённое выражение.

5. Сопряжённые выражения и разность квадратов

Вспомним формулу:

• (A − B)(A + B) = A² − B²
  
  

Если A или B — радикалы, после возведения в квадрат корни исчезают.

Определение

Сопряжённое выражение — это выражение, в котором знак между двумя членами меняется на противоположный.

Примеры:

• 3 − √7 → сопряжённое: 3 + √7
  
  
• √13 + 2√11 → сопряжённое: √13 − 2√11
  
  

6. Рационализация с помощью сопряжённого

Пример 1

• 2 / (√5 − 1)
  
  

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое:

• (√5 + 1) / (√5 + 1)
  
  

В знаменателе:

• (√5 − 1)(√5 + 1) = 5 − 1 = 4
  
  

Упрощаем:

• 2(√5 + 1) / 4 = (√5 + 1) / 2
  
  

Пример 2

• 8 / (√7 − √3)
  
  

Умножаем на сопряжённое:

• (√7 + √3) / (√7 + √3)
  
  

Знаменатель:

• 7 − 3 = 4
  
  

Сокращаем:

• 2(√7 + √3)
  
  

Пример 3 (со сложным числителем)

• (4 + 2√5) / (3 + √5)
  
  

Умножаем на сопряжённое знаменателя:

• (3 − √5) / (3 − √5)
  
  

Знаменатель:

• 9 − 5 = 4
  
  

Числитель (FOIL):

• 12 − 4√5 + 6√5 − 10
  
  
• = 2 + 2√5
  
  

Делим на 4:

• (1 + √5) / 2
  
  

7. Рационализация в уравнениях

Пример

• x / (2√5 − 3) = 5
  
  

Изолируем x:

• x = 5(2√5 − 3)
  
  

Рационализируем:

• умножаем на (2√5 + 3)
  
  

Знаменатель:

• (2√5)² − 3² = 20 − 9 = 11
  
  

Сокращаем:

• x = 5(2√5 + 3)
  
  

8. Итоговые правила

1. Корень в знаменателе всегда нужно убрать
   
   
2. Один корень → умножаем на этот корень
   
   
3. Сложение или вычитание в знаменателе → умножаем на сопряжённое
   
   
4. Используем формулу разности квадратов
   
   
5. Ответы GMAT всегда рационализованы
   
   

Рационализация — не «дополнительный шаг», а обязательная часть корректного ответа в задачах GMAT Quant.

И нас ждет последняя глава этого раздела работа с формулами.