Разложение на множители: разность квадратов

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В этом уроке мы разбираем самый важный шаблон факторизации во всей алгебре.
Ранее мы уже изучили:

• квадрат суммы

   

• квадрат разности

   

Вместе с ними разность квадратов образует «большую тройку» ключевых алгебраических шаблонов.
Из этих трёх разность квадратов — самый часто используемый и самый экзаменационно важный.

Если квадрат суммы и квадрат разности вам пока не знакомы, их вывод и применение подробно рассматривались в уроке про FOIL. Понимание FOIL существенно облегчает этот материал.

Разность квадратов: основной шаблон

Разность квадратов — это выражение вида:

a в квадрате − b в квадрате

Оно всегда факторизуется по формуле:

a в квадрате − b в квадрате = (a + b)(a − b)

Почему эта формула верна

Это легко проверить с помощью FOIL:

(a + b)(a − b)

• First: a × a = a в квадрате

   

• Outer: a × (−b) = −ab

   

• Inner: b × a = ab

   

• Last: b × (−b) = −b в квадрате

   

Средние члены −ab и +ab взаимно уничтожаются, остаётся:

a в квадрате − b в квадрате

Эта «автоматическая отмена» перекрёстных членов делает шаблон исключительно элегантным — и именно поэтому GMAT так его любит.

Базовые примеры

Пример 1

x в квадрате − 49

49 = 7 в квадрате

Значит:

• a = x

   

• b = 7

   

Факторизация:
(x + 7)(x − 7)

Пример 2 (коэффициент при x)

9x в квадрате − 16

9x в квадрате = (3x) в квадрате
16 = 4 в квадрате

Значит:

• a = 3x

   

• b = 4

   

Факторизация:
(3x − 4)(3x + 4)

Порядок множителей не важен — умножение коммутативно.

Пример 3 (две переменные)

25x в квадрате − 64y в квадрате

25x в квадрате = (5x) в квадрате
64y в квадрате = (8y) в квадрате

Факторизация:
(5x + 8y)(5x − 8y)

Пример 4 (произведение переменных)

x в квадрате y в квадрате − 1

x в квадрате y в квадрате = (xy) в квадрате

Факторизация:
(xy − 1)(xy + 1)

Ключевое расширение идеи: любые чётные степени — это квадраты

Очень важное наблюдение:

Любая чётная степень — это квадрат другой степени.

Примеры:

• x в шестой степени = (x в кубе) в квадрате

   

• x в восьмой степени = (x в четвёртой степени) в квадрате

   

• x в двенадцатой степени = (x в шестой степени) в квадрате

   

Это следует из правила степеней:
x в степени a × x в степени a = x в степени 2a

Разность квадратов с высокими степенями

Пример 5

x в шестой степени − 16

x в шестой степени = (x в кубе) в квадрате
16 = 4 в квадрате

Факторизация:
(x в кубе − 4)(x в кубе + 4)

Пример 6

x в восьмой степени − 9y в квадрате

x в восьмой степени = (x в четвёртой степени) в квадрате
9y в квадрате = (3y) в квадрате

Факторизация:
(x в четвёртой степени − 3y)(x в четвёртой степени + 3y)

Комбинация с GCF (очень важно)

Часто выражение не сразу выглядит как разность квадратов, но становится таковым после вынесения общего множителя.

Пример 7

x в седьмой степени − 4x в пятой степени

Шаг 1: выносим наибольший общий множитель x в пятой степени

x в пятой степени (x в квадрате − 4)

Шаг 2: разность квадратов внутри скобок

x в квадрате − 4 = (x − 2)(x + 2)

Итоговая факторизация:
x в пятой степени (x − 2)(x + 2)

Пример 8 (многошаговая факторизация)

x в четвёртой степени − 9

Шаг 1:
x в четвёртой степени = (x в квадрате) в квадрате

(x в квадрате + 3)(x в квадрате − 3)

Шаг 2:
x в квадрате − 3 — не факторизуется дальше
x в квадрате + 3 — сумма квадратов, она не факторизуется в алгебре

Важно помнить:

Сумму квадратов факторизовать нельзя.

Большая тройка формул (обязательно знать)

1. Квадрат суммы
   (a + b) в квадрате = a в квадрате + 2ab + b в квадрате

    

2. Квадрат разности
   (a − b) в квадрате = a в квадрате − 2ab + b в квадрате

    

3. Разность квадратов
   a в квадрате − b в квадрате = (a + b)(a − b)

    

Из них разность квадратов — самая часто используемая на GMAT.

Экзаменационный пример (очень показательный)

Дано:

• y = 5 + x

   

• y = 12 − x

   

Найти:
k = y в квадрате − x в квадрате

Шаг 1: применяем разность квадратов

y в квадрате − x в квадрате = (y − x)(y + x)

Шаг 2: находим значения

Из уравнений:

• y − x = 5

   

• y + x = 12

   

Шаг 3: перемножаем

k = 5 × 12 = 60

Итоговые выводы

В этом уроке мы разобрали:

• ключевой шаблон разности квадратов;

   

• его вывод через FOIL;

   

• применение к числам, переменным и высоким степеням;

   

• сочетание с вынесением GCF;

   

• принцип полной факторизации;

   

• важнейшее правило: сумма квадратов не факторизуется.

   

Умение мгновенно распознавать разность квадратов — критический навык для Quant на GMAT и GRE.

Следующей главой будет разложение квадратного тринома на произведение линейных биномиалов.