Обратная подстановка

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

До этого момента в разделе Word Problems мы в основном решали задачи прямым алгебраическим способом. Этот подход всегда работает, но он не единственный.

В конце модуля мы разбираем альтернативные стратегии, которые часто позволяют решать задачи:

• быстрее,
  
  
• с меньшим количеством вычислений,
  
  
• и особенно эффективно на GMAT.
  
  

Первая такая стратегия — обратная подстановка (backsolving).

Что такое backsolving

Стратегия backsolving применяется, когда все пять вариантов ответа — числа.

Идея проста:

1. Мы предполагаем, что один из ответов является правильным.
   
   
2. Подставляем его в условия задачи.
   
   
3. Проверяем, согласуется ли результат с условием.
   
   
4. Если нет — понимаем, ответ слишком большой или слишком маленький, и исключаем сразу несколько вариантов.
   
   

Базовая стратегия: начинать с варианта C

Самый простой и надёжный подход:

• начинаем с варианта C;
  
  
• вероятность, что он правильный — 20%;
  
  
• если он не подходит, почти всегда можно понять:
  
  
  • ответ слишком большой, или
    
    
  • слишком маленький.
    
    

Это позволяет:

• сразу исключить 3 варианта ответа;
  
  
• затем проверить один из оставшихся двух.
  
  

Даже если C неверен, одна проверка резко сужает выбор.

Альтернативная (более продвинутая) стратегия

Можно начинать не с C, а с B.

Логика:

• 20% — B правильный;
  
  
• ещё 20% — B слишком большой, значит правильный ответ A.
  
  

Итого:

• 40% шанс угадать с первого шага.
  
  

Если B не подходит:

• пробуем D,
  
  
• и после этого почти всегда остаётся ровно один возможный ответ.
  
  

Эта стратегия чуть сложнее, но в среднем быстрее.

Практика 1: налоги (backsolving вместо алгебры)

Задача:
В одном штате:

• на еду — налог 2%;
  
  
• на канцтовары — налог 8%.
  
  

Школа сделала общий заказ на 500 долларов и заплатила 19 долларов налога.
Сколько денег было потрачено на еду?

Шаг 1. Пробуем вариант C

Пусть 300 долларов — на еду, значит:

• 200 — на канцтовары.
  
  

Считаем налог:

• 2% от 300 = 6
  
  
• 8% от 200 = 16
  
  
• всего: 22
  
  

Но по условию налог равен 19 → слишком много.

Вывод:

• еды должно быть больше,
  
  
• канцтоваров — меньше (у них выше налог).
  
  

Сразу исключаем A, B и C.

Шаг 2. Пробуем вариант E

Пусть еды на 400 долларов, значит:

• канцтоваров на 100.
  
  

Налог:

• 2% от 400 = 8
  
  
• 8% от 100 = 8
  
  
• всего: 16
  
  

Это слишком мало.

Вывод

• A, B, C — дают слишком большой налог;
  
  
• E — слишком маленький;
  
  
• остаётся только D.
  
  

Ответ найден за две проверки, без уравнений.

Практика 2: задача на смеси

Задача:
Есть 60 литров раствора с концентрацией 40%.
Сколько литров чистой кислоты нужно добавить, чтобы получить концентрацию 50%?

Шаг 1. Анализ без подстановки

В исходном растворе:

• 40% от 60 = 24 литра кислоты.
  
  

Шаг 2. Пробуем вариант C

Допустим, добавили 20 литров кислоты.

Тогда:

• всего кислоты: 24 + 20 = 44
  
  
• общий объём: 60 + 20 = 80
  
  

44 — больше половины от 80, значит концентрация больше 50%.

Вывод:

• добавили слишком много кислоты;
  
  
• исключаем C, D, E.
  
  

Шаг 3. Пробуем вариант A

Добавим 12 литров кислоты.

Тогда:

• кислоты: 24 + 12 = 36
  
  
• объём: 60 + 12 = 72
  
  

36 — это ровно половина от 72.

Концентрация = 50%, условие выполнено.

Ответ: A.

Итог

• Backsolving — мощная стратегия, когда все ответы числовые.
  
  
• Самый простой подход — начать с варианта C.
  
  
• Часто одна проверка позволяет исключить 3 варианта сразу.
  
  
• Более продвинутый вариант — начинать с B, затем при необходимости проверять D.
  
  
• Backsolving особенно эффективен:
  
  
  • в задачах на проценты,
    
    
  • налоги,
    
    
  • смеси,
    
    
  • распределение денег.
    
    

На GMAT эта стратегия часто экономит и время, и вычисления, и потому должна быть в вашем обязательном наборе инструментов.

Следующими главами мы рассмотрим VIC задачи.