Положительные и отрицательные числа (2)

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

В предыдущем разделе мы разобрали сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.
В этой главе переходим к умножению, делению и абсолютному значению.

Хорошая новость:
👉 правила здесь значительно проще, чем при сложении и вычитании.

Правила знаков при умножении

Главная идея:

одинаковые знаки → положительный результат
разные знаки → отрицательный результат

Все варианты умножения

(+) × (+) = (+)

(−) × (−) = (+)

(+) × (−) = (−)

(−) × (+) = (−)

Иными словами:

• одинаковые знаки → плюс
• разные знаки → минус

Правила знаков при делении

Правила полностью аналогичны умножению:

(+) ÷ (+) = (+)

(−) ÷ (−) = (+)

(+) ÷ (−) = (−)

(−) ÷ (+) = (−)

📌 Универсальное правило:

При умножении или делении
— одинаковые знаки дают положительный результат
— разные знаки дают отрицательный результат

Как решать задачи без ошибок

Двухшаговая стратегия (обязательна!)

Шаг 1. Определить знак результата
Шаг 2. Считать числа как положительные

Только в конце:
→ ставим нужный знак

Пример 1

(−6) × (−7)

Знаки:

(−) × (−) → (+)

Считаем:

6 × 7 = 42

Ответ:

42

Пример 2

(−65) ÷ 5

Знаки:

(−) ÷ (+) → (−)

Считаем:

65 ÷ 5 = 13

Ответ:

−13

Пример 3

(−30) ÷ (−12)

Знаки:

(−) ÷ (−) → (+)

Считаем:

30 ÷ 12 = 5/2

Ответ:

5/2

Абсолютное значение: правильное понимание

Ошибочное школьное определение

«Модуль делает всё положительным»

❌ Это неточно.

Почему?

|6| = 6

|−14| = 14

|0| = 0   ← 0 не является положительным числом

Корректное определение абсолютного значения

Абсолютное значение — это расстояние от точки до нуля на числовой прямой

Формально:

|x| = расстояние от x до 0

Примеры

|6| = 6     (6 единиц от нуля)

|−14| = 14  (14 единиц от нуля)

|0| = 0

Абсолютное значение в алгебре

Это крайне важно для GMAT.

Примеры интерпретации

|x|      → расстояние от 0

|x − 5|  → расстояние от +5

|x + 3|  → расстояние от −3

Абсолютное значение и неравенства

Пример

|x − 1| > 4

Перевод на язык смысла:

расстояние между x и 1 больше 4

Работаем на числовой прямой

1. Центр: 1
2. Отступаем 4 единицы:
   • влево → −3
   • вправо → 5

Точки −3 и 5 не подходят, потому что расстояние ровно 4.

Допустимые значения

x < −3  или  x > 5

📌 Эти два неравенства полностью эквивалентны исходному модульному неравенству.

Практическая задача (типичная для GMAT)

Условие

Рассмотрим целые числа от 1 до 100.
Для скольких значений n верно:

|n − 30| > 20

Интерпретация

расстояние между n и 30 больше 20

Анализ

• 30 − 20 = 10 → не подходит
• 30 + 20 = 50 → не подходит

Допустимы:

n < 10   → 1 … 9  → 9 чисел

n > 50   → 51 … 100 → 50 чисел

Ответ

9 + 50 = 59

👉 59 значений

Формулы и правила (готовый блок)

Знаки при умножении и делении

одинаковые знаки → +

разные знаки → −

Абсолютное значение

|x| = расстояние от x до 0

Абсолютные выражения

|x − a| = расстояние между x и a

Неравенства с модулем

|x − a| > d  ⇔  x < a − d  или  x > a + d

|x − a| < d  ⇔  a − d < x < a + d

Типичные ошибки на экзамене

❌ Путать знаки при делении
❌ Делать арифметику до определения знака
❌ Думать, что модуль «всегда делает плюс»
❌ Решать модульные задачи без числовой прямой

Краткое резюме

• умножение и деление со знаками проще, чем сложение
• сначала определяем знак, потом считаем
• абсолютное значение = расстояние
• модульные неравенства → две области
• числовая прямая — главный инструмент

Далее рекомендую изучить порядок выполнения операций.