Анализ вероятностных задач

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

В предыдущих уроках мы разобрали все ключевые идеи: взаимоисключающие события, независимые события, а также правила AND и OR для разных ситуаций.
Теперь возникает главный экзаменационный вопрос: как применять все эти правила в реальной задаче?

Этот урок посвящён именно анализу вероятностных задач и выработке правильного алгоритма мышления.

Краткое повторение ключевых понятий

Взаимоисключающие события (mutually exclusive)

Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно.
Вероятность их одновременного наступления равна 0.

Типичные примеры:

• при выборе одной карты из колоды события «вытянуть черву» и «вытянуть пику» взаимоисключающие;
  
  
• при одном броске кости разные грани взаимоисключающие — невозможно получить сразу два значения.
  
  

Обычно это события одной и той же категории.

Независимые события (independent)

События независимы, если знание исхода одного никак не влияет на вероятность другого.

Иначе говоря:

• результат первого события не даёт информации о втором;
  
  
• вероятности не меняются.
  
  

Важное замечание про «человеческие» категории

Идеи взаимного исключения и независимости плохо работают для людей:

• религия,
  
  
• политическая принадлежность,
  
  
• раса,
  
  
• гендер и т.д.
  
  

Эти категории:

• часто пересекаются,
  
  
• редко бывают строго независимыми,
  
  
• почти никогда не бывают строго взаимоисключающими.
  
  

Поэтому на GMAT/GRE эти понятия почти всегда применяются к простым объектам:

• кости,
  
  
• монеты,
  
  
• карты,
  
  
• шары в коробке.
  
  

Ключевой экзаменационный маркер: «без возвращения»

Запомните правило:

Если в задаче есть фраза «без возвращения», события автоматически НЕ независимы.

Почему?

• каждый выбор меняет состав множества,
  
  
• а значит — меняет вероятности последующих выборов.
  
  

Пример:

• первая карта выбирается из 52,
  
  
• вторая — из 51,
  
  
• вероятности уже другие.
  
  

Следовательно:

• правило независимого AND применять нельзя,
  
  
• нужно использовать обобщённое правило AND с условными вероятностями.
  
  

Пример сложной задачи (анализ по шагам)

Условие:
В игре есть два этапа.

Фаза 1:
Подбрасывают монету не более 3 раз.

• если выпадают три решки подряд — игрок проигрывает;
  
  
• как только выпадает первый орёл, игрок переходит к Фазе 2.
  
  

Фаза 2:
Бросают одну шестигранную кость.

• если выпадает 6 — игрок выигрывает;
  
  
• любой другой результат — проигрыш.
  
  

Вопрос:
Какова вероятность выигрыша?

Шаг 1. Разделяем задачу на этапы

Это принципиально важно для сложных задач.

• Фаза 1: попасть во Фазу 2
  
  
• Фаза 2: выбросить 6
  
  

Шаг 2. Проверяем независимость этапов

• монета и кость — независимые объекты;
  
  
• результат подбрасываний не влияет на бросок кости.
  
  

Следовательно:

• Фаза 1 и Фаза 2 независимы,
  
  
• вероятность выигрыша = произведение вероятностей этапов.
  
  

P(выигрыш) = P(дойти до Фазы 2) × P(выпала 6)

Шаг 3. Вероятность выигрыша во Фазе 2

Это просто:

P(6) = 1/6

Шаг 4. Анализ Фазы 1 (ключевой момент)

Рассмотрим возможные исходы:

• орёл → проход
  
  
• решка, орёл → проход
  
  
• решка, решка, орёл → проход
  
  
• решка, решка, решка → проигрыш
  
  

Из четырёх возможных сценариев:

• три ведут к успеху,
  
  
• один — к проигрышу.
  
  

Это идеальная ситуация для правила дополнения.

Шаг 5. Используем правило дополнения

Проигрыш в Фазе 1 — это:

• три решки подряд.
  
  

Вероятность этого:

1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

Следовательно:

P(дойти до Фазы 2) = 1 − 1/8 = 7/8

Шаг 6. Перемножаем этапы

P(выигрыш) = 7/8 × 1/6 = 7/48

Ответ

Вероятность выигрыша равна 7/48.

Экзаменационные выводы

• Всегда разбивайте задачу на этапы.
  
  
• Проверяйте:
  
  
  • независимость,
    
    
  • взаимоисключение,
    
    
  • возможность применения правила дополнения.
    
    
• Фраза «без возвращения» = события зависимы.
  
  
• Сложные задачи почти всегда решаются через:
  
  
  • этапы,
    
    
  • AND между этапами,
    
    
  • OR внутри этапов,
    
    
  • правило дополнения как шорткат.
    
    

Этот пример сложнее типичной задачи GMAT/GRE, но он отлично демонстрирует правильный стиль анализа, который экзамен и проверяет. Далее рассмотрим использование метода подсчетов в вероятностных задачах.