Квадратные корни

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

Теперь мы можем перейти к теме квадратных корней. Во многих задачах по математике нам известно значение квадрата числа, и требуется восстановить исходное число.

Пример:

• x в квадрате = 5

   

Если бы правая часть была полным квадратом, задача была бы простой. Но на практике это редкость. Именно для таких ситуаций и используется понятие квадратного корня.

1. Что означает квадратный корень

Рассмотрим уравнение:

• x в квадрате = 2

   

Какое число при возведении в квадрат даёт 2?
Это число — десятичное, лежащее между 1 и 2.

Мы обозначаем положительное число, квадрат которого равен 2, так:

• квадратный корень из 2

   

• или радикал 2

   

Операции «возведение в квадрат» и «извлечение квадратного корня» взаимно отменяют друг друга, так же как сложение и вычитание.

По определению:

квадратный корень из 2 — это число, которое при возведении в квадрат даёт 2.

2. Два корня у квадратного уравнения

Уравнение:

• x в квадрате = 2

   

имеет два решения:

• положительное: + квадратный корень из 2

   

• отрицательное: − квадратный корень из 2

   

Важно:
Когда в задаче написан радикал, он всегда означает только положительный корень.
Отрицательный корень нужно указывать отдельно, со знаком минус перед радикалом.

3. Ключевое правило: когда учитывать ±, а когда нет

Это один из самых важных моментов для GMAT.

Случай 1. Радикал написан в условии

Если знак квадратного корня напечатан в вопросе, значит:

• рассматривается только положительный корень

   

Пример:

• квадратный корень из 2 больше 1?

   

Ответ: да, потому что квадратный корень из 2 — число между 1 и 2.

Случай 2. Вы сами извлекаете корень при решении

Если в задаче:

• есть переменная в квадрате

   

• и вы сами извлекаете квадратный корень при решении

   

то обязательно нужно учитывать оба корня:

• положительный

   

• отрицательный

   

Пример:

• k в квадрате = 2

   

• k больше 1?

   

Здесь радикал не написан в условии. Вы сами находите k, значит:

• k = + квадратный корень из 2 или

   

• k = − квадратный корень из 2

   

В одном случае k > 1, в другом — нет.
Ответ определить нельзя.

4. Квадратный корень из 0 и отрицательных чисел

• квадратный корень из 0 = 0
  (потому что 0 в квадрате = 0)

   

• квадратный корень из отрицательного числа не существует
  (в рамках GMAT)

   

Почему:

• положительное число в квадрате → положительное

   

• отрицательное число в квадрате → положительное

   

• 0 в квадрате → 0

   

Ни одно число на числовой прямой не даёт отрицательное значение при возведении в квадрат.

Мнимые числа (корни из отрицательных) не входят в GMAT.

5. Что гарантирует тест, когда пишет радикал

Если в условии написано:

• квадратный корень из A = B

   

то тест гарантирует, что:

• A ≥ 0

   

• B ≥ 0

   

Экзамен никогда не напишет математически некорректное равенство.

Формально радикал — это главный (principal) квадратный корень, который всегда неотрицателен.

6. Совершенные квадраты и приближения

GMAT ожидает, что вы:

• мгновенно узнаёте квадратные корни из полных квадратов

   

  • квадратный корень из 36 = 6

     

Но:

• GMAT не требует точного значения квадратного корня из 41, 53 и т.п.

   

Зато требуется оценка.

7. Квадратный корень сохраняет порядок

Для положительных чисел:

Если:

• A < B < C

   

то:

• квадратный корень из A < квадратный корень из B < квадратный корень из C

   

Пример:

• 36 < 41 < 49

   

Берём корень:

• 6 < квадратный корень из 41 < 7

   

Значит:

• квадратный корень из 41 — число между 6 и 7

   

8. Радикал как оператор и важная ловушка

Квадратный корень — это оператор, как +, −, ×, ÷.
Он «отменяет» квадрат, но не идеально.

Если y отрицательно:

• y в квадрате положительно

   

• квадратный корень из (y в квадрате) положителен

   

Поэтому:

квадратный корень из (y в квадрате) = |y|

А не просто y.

9. Решение уравнений с квадратом

Если в задаче:

• (x − 3) в квадрате = 16

   

Мы сами извлекаем квадратный корень, значит:

• x − 3 = ±4

   

Два решения:

• x = 7

   

• x = −1

   

Это быстрее и надёжнее, чем раскрывать скобки и решать квадратное уравнение.

10. Связь квадратных корней с экспоненциальным ростом

Если b > 1:

• b в квадрате > b

   

• значит, квадратный корень из b < b

   

Если 0 < b < 1:

• b в квадрате < b

   

• значит, квадратный корень из b > b

   

Пример:

• 2/3 в квадрате = 4/9

   

• квадратный корень из 4/9 = 2/3

   

• 2/3 > 4/9

   

Для положительных чисел меньше 1 квадратный корень увеличивает значение.

11. Пример на понимание

Если:

• 7K — положительное целое

   

• квадратный корень из K > K

   

Это возможно только, если:

• 0 < K < 1

   

Такое K не может быть целым.

Итоги темы

1. Радикал всегда означает положительный корень

    

2. Если вы сами извлекаете корень — учитывайте ±

    

3. квадратный корень из 0 равен 0

    

4. квадратного корня из отрицательного числа (в GMAT) не существует

    

5. квадратный корень сохраняет порядок неравенств

    

6. если b > 1, то квадратный корень из b < b

    

7. если 0 < b < 1, то квадратный корень из b > b

    

Понимание этих принципов критично для задач GMAT Quant на уравнения, неравенства и сравнение величин.

Следующая глава будет про другие корни.