Упрощение алгебраических выражений

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

Первая практическая тема в разделе алгебры — упрощение алгебраических выражений. Хотя на экзамене GMAT не будут задавать совсем примитивные примеры, все более сложные задачи опираются именно на эти базовые правила.

Объединение подобных членов (like terms)

Рассмотрим простой пример:

3x + 5x = 8x

Здесь мы утверждаем, что одно выражение тождественно равно другому для всех значений x. Это не решение уравнения, а правило, верное для всех чисел.

Что такое подобные члены

Подобные члены — это члены, у которых:

• одинаковая буквенная часть (одни и те же переменные в тех же степенях);
  
  
• различие может быть только в коэффициентах.
  
  

👉 Главное правило упрощения в алгебре:

Подобные члены можно складывать и вычитать, складывая или вычитая их коэффициенты.

Примеры объединения подобных членов

Пример 1

15y − 8y

Оба члена имеют одинаковую буквенную часть y.

15 − 8 = 7

Результат:
7y

Пример 2

3y в квадрате + 3y в квадрате

Члены полностью идентичны.

3 + 3 = 6

Результат:
6y в квадрате

Пример 3 (сложный вид, но простая идея)

2x в пятой степени умножить на y в четвёртой степени умножить на z в седьмой степени
+
x в пятой степени умножить на y в четвёртой степени умножить на z в седьмой степени

Буквенная часть полностью совпадает, значит это подобные члены.

2 + 1 = 3

Результат:
3x в пятой степени умножить на y в четвёртой степени умножить на z в седьмой степени

Неподобные члены складывать нельзя

Если буквенные части различаются (по переменной или по степени), такие члены нельзя объединять.

Пример

y в кубе + 2y в квадрате − 5y + 3y в квадрате + 7y

Здесь есть:

• один кубический член,
  
  
• два квадратичных,
  
  
• два линейных.
  
  

Шаги упрощения

1. Группируем подобные члены.
   
   
2. Упрощаем каждую группу отдельно.
   
   

Результат:
y в кубе + 5y в квадрате + 2y

Коммутативность умножения и подобные члены

Умножение коммутативно:

A × B = B × A

Поэтому порядок множителей не имеет значения.

Пример 1

5xy + 7yx

Так как xy = yx, это подобные члены.

5 + 7 = 12

Результат:
12xy

Пример 2 (более сложный)

6a умножить на b в квадрате умножить на c
−
4b в квадрате умножить на a умножить на c

Буквенная часть одинакова, только порядок множителей разный.

6 − 4 = 2

Результат:
2a умножить на b в квадрате умножить на c

Когда упрощение невозможно

Если ни два члена не являются подобными, выражение уже находится в упрощённом виде.

Это важно:
не каждое выражение можно сократить или упростить дальше.

Скобки и упрощение выражений

Отдельная важная тема — работа со скобками.

Сложение со скобками

Если перед скобками стоит знак «плюс», скобки можно просто убрать:

+(a + b − c) = a + b − c

После этого выражение упрощается стандартным образом.

Вычитание со скобками (очень важно)

Если перед скобками стоит знак «минус», при раскрытии скобок каждый знак внутри меняется на противоположный:

• плюс становится минусом;
  
  
• минус становится плюсом.
  
  

Пример

x в квадрате − (3x в квадрате − 3x)

Раскрываем скобки, меняя знаки:

x в квадрате − 3x в квадрате + 3x

Упрощаем:

−2x в квадрате + 3x

Практический итог

При упрощении алгебраических выражений необходимо помнить три фундаментальных правила:

1. Объединять можно только подобные члены.
   
   
2. При сложении выражения в скобках скобки просто убираются.
   
   
3. При вычитании выражения в скобках каждый знак внутри меняется на противоположный.
   
   

Эти правила лежат в основе практически всех дальнейших тем алгебры в Quant-разделе GMAT и GRE. Рассмотрим как умножаются алгебраические выражения.