Порядок выполнения операций

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Многие помнят эту тему по аббревиатуре PEMDAS, но для GMAT полезнее мыслить шире.
В этом разделе мы разберём порядок операций через идею группировки, потому что именно ошибки с группировкой чаще всего «съедают» баллы на Quant.

Ключевая идея №1: группирующие символы

Группирующий символ показывает, какие операции должны выполняться вместе и раньше остальных.

Основные группирующие символы

1. Круглые скобки

    

( )

Всё внутри выполняется раньше внешних операций.

1. Квадратные скобки

    

[ ]

Полностью эквивалентны круглым скобкам.
Часто используются для удобства, если несколько уровней вложенности.

1. Знак квадратного корня

    

√(…)

✔ имеет двойное значение:

• операция «взять корень»

   

• группировка всего, что находится под корнем

   

📌 Никакая операция не может «пройти сквозь» корень.

1. Длинная дробная черта

    

(x + 6)

──────

(x − 4)

✔ тоже имеет двойное значение:

• операция деления

   

• группировка числителя и знаменателя

   

❌ Нельзя сокращать части знаменателя по отдельности — он рассматривается как единое целое.

1. Позиция показателя степени (exponent slot)

    

3^(x − 7)

✔ всё, что стоит в показателе степени, группируется автоматически

Почему это важно: математика vs plain text

В математической записи группировка видна визуально.
В обычном тексте (email, форум, заметки) — нет.

Типичная ошибка №1 (степени)

❌ Неправильно:

2^n+3

Это двусмысленно:

• это 2^(n+3)?

   

• или (2^n) + 3?

   

✔ Правильно:

2^(n+3)

Мы обязаны явно указать группировку.

Типичная ошибка №2 (дроби)

❌ Неправильно:

1/y-7+3

Совершенно неясно:

• это 1/(y−7+3)?

   

• или (1/y) − 7 + 3?

   

✔ Правильно:

1/(y−7+3)

📌 Слэш / — это только деление, но не группировка.
Группировку всегда добавляем вручную.

Почему это полезно для подготовки

Перевод математической записи в plain text:

• заставляет осознанно думать о структуре выражения

   

• резко снижает количество ошибок с порядком операций

   

• напрямую прокачивает навыки для Data Sufficiency и Algebra

   

Порядок операций: GEMDAS

Вместо PEMDAS используем более точную схему:

GEMDAS

1. G — Grouping (все группирующие символы)

    

2. E — Exponents (степени)

    

3. M/D — Multiplication / Division

    

4. A/S — Addition / Subtraction

    

📌 Важно:

• умножение и деление одного приоритета

   

• сложение и вычитание одного приоритета

   

Пример 1 (базовый)

2^2 + (7 − 5)

Шаги:

1. Группировка: 7 − 5 = 2

    

2. Степень: 2^2 = 4

    

3. Сложение: 4 + 2 = 6

    

Пример 2 (дробь + скобки)

12

────── × (10 − 7) + 6

  3

Шаги:

1. Скобки: 10 − 7 = 3

    

2. Умножение и деление:

    

   • 12 ÷ 3 = 4

      

   • 4 × 3 = 12

      

3. Сложение: 12 + 6 = 18

    

Ключевой момент: умножение и деление — гибкий порядок

Рассмотрим выражение:

A × B ÷ C × D

Допустимые варианты:

• (A × B) ÷ (C × D)

   

• A × (B ÷ C) × D

   

• (A ÷ C) × (B ÷ D)

   

• (A ÷ D) × (B ÷ C)

   

✔ Разрешено любое перестроение, если:

• вы не меняете, что умножается

   

• и что делится

   

🎯 Цель:

всегда сокращать ДО умножения

(это станет критично важным в дробях)

Несколько уровней группировки (вложенность)

Алгоритм

1. работаем изнутри наружу

    

2. на каждом уровне снова применяем GEMDAS

    

Пример

    60

────────── + 2

(2^2 × (13 − 11) + 4)

Шаги:

1. Внутренние скобки: 13 − 11 = 2

    

2. Степень: 2^2 = 4

    

3. Умножение: 4 × 2 = 8

    

4. Сложение: 8 + 4 = 12

    

5. Деление: 60 ÷ 12 = 5

    

6. Сложение: 5 + 2 = 7

    

Формулы и правила (готовый блок)

Группировка

( ), [ ], √( ), длинная дробь, показатель степени

GEMDAS

Grouping

Exponents

Multiplication / Division

Addition / Subtraction

Степени в plain text

2^(n+3)

Дроби в plain text

1/(x−4)

Вложенные выражения

всегда: изнутри → наружу

Типичные ошибки на GMAT

❌ Считать PEMDAS механически
❌ Неявно задавать группировку
❌ Делить «на глаз» без скобок
❌ Сначала умножать, а потом сокращать
❌ Теряться при нескольких уровнях скобок

Краткое резюме

• группировка важнее всего

   

• GEMDAS точнее PEMDAS

   

• степени и дроби — тоже группировка

   

• умножение и деление равноправны

   

• при вложенности — всегда изнутри наружу

Следующий урок будет посвящен десятичным дробям.