Использование методов подсчёта в задачах на вероятность

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

До этого момента мы решали задачи, опираясь в основном на алгебраические правила вероятности — AND, OR, правило дополнения и т.д. Эти правила очень полезны и встречаются во многих задачах.
Однако существуют ситуации, где они не работают напрямую, и тогда приходится возвращаться к базовому определению вероятности.

Базовое определение вероятности

Фундаментальное определение:

вероятность = число благоприятных исходов / общее число возможных исходов

В очень простых задачах можно просто:

• перечислить все возможные случаи,
  
  
• посчитать, какие из них являются успешными,
  
  
• составить дробь.
  
  

Но на экзамене GMAT/GRE такие ситуации встречаются редко. Чаще всего:

• общее число исходов слишком велико,
  
  
• прямое перечисление невозможно.
  
  

В этих случаях используются методы комбинаторики.

Напоминание: методы подсчёта

Именно здесь нам снова понадобятся темы из модуля по подсчёту:

1) Фундаментальный принцип подсчёта

Если:

• первый выбор можно сделать k способами,
  
  
• второй — n способами,
  
  
• третий — p способами,
  
  

то общее число способов равно:

k × n × p

2) Перестановки

Если мы упорядочиваем n различных объектов, то число возможных порядков равно:

n!

3) Сочетания

Если порядок не важен, а важно только, какие элементы выбраны, используются сочетания.

Пример:

• из 10 позиций выбрать 3 для успеха.
  
  

Если эти идеи кажутся неуверенными, обязательно стоит вернуться к разделу Counting и повторить:

• фундаментальный принцип,
  
  
• перестановки,
  
  
• сочетания и их связь между собой.
  
  

Когда методы подсчёта применяются в вероятности

Методы подсчёта особенно часто используются в задачах, где:

• формируется группа людей,
  
  
• накладываются условия («этот включён», «этот не включён»),
  
  
• выбирается подмножество из большего множества.
  
  

Это классический сигнал, что перед вами задача на комбинаторику внутри вероятности.

Пример экзаменационной задачи

Условие:
Комитет из 3 человек выбирается из группы из 8 сотрудников, включая Алису и Боба.
Какова вероятность того, что выбранный комитет:

• включает Алису,
  
  
• и не включает Боба?
  
  

Предполагается, что все возможные комитеты равновероятны.

Шаг 1. Общее число возможных комитетов (знаменатель)

Сначала считаем, сколько всего комитетов из 3 человек можно составить из 8 сотрудников.

Это сочетание:

8C3 = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1)

3 × 2 × 1 = 6, сокращаем:

8C3 = 56

Это общее число исходов — знаменатель вероятности.

Шаг 2. Число благоприятных комитетов (числитель)

Теперь считаем, сколько комитетов удовлетворяют условиям.

Условия:

• Алиса обязательно входит,
  
  
• Боб обязательно не входит.
  
  

Из 8 сотрудников:

• Алиса уже выбрана,
  
  
• Боб исключён.
  
  

Остаётся 6 других сотрудников, из которых нужно выбрать ещё 2 человека.

Число способов:

6C2 = (6 × 5) / 2 = 15

Это число благоприятных исходов.

Шаг 3. Составляем вероятность

P = 15 / 56

Ответ

Вероятность того, что комитет из 3 человек включает Алису и не включает Боба, равна 15/56.

Ключевые выводы

• Иногда вероятностные правила (AND, OR) — лучший инструмент.
  
  
• Иногда задача естественным образом сводится к подсчёту исходов.
  
  
• Если в задаче:
  
  
  • формируются группы,
    
    
  • выбираются люди,
    
    
  • накладываются ограничения,
    
    
• почти всегда нужно использовать методы подсчёта.
  
  
• Обычно:
  
  
  • знаменатель (все возможные варианты) считается проще,
    
    
  • числитель (благоприятные варианты) требует аккуратного анализа условий.
    
    

В следующем уроке мы поговорим о самом важном экзаменационном навыке: как быстро понять, какой подход — вероятностный или комбинаторный — нужно использовать в конкретной задаче.