FOIL метод

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В предыдущих уроках мы рассматривали умножение выражений в ситуациях, где не более одного множителя содержал сложение или вычитание. Теперь перейдём к более сложному и очень важному случаю — умножению двух биномиальных выражений, то есть двух выражений, каждое из которых состоит из двух членов.

Почему здесь возникает сложность

Рассмотрим произведение двух биномиалов:

(p + q)(r + s)

Формально мы могли бы:

1. Распределить второй множитель (r + s) по первому,
   
   
2. Получить p(r + s) + q(r + s),
   
   
3. А затем ещё раз применить распределительный закон к каждому из полученных выражений.
   
   

Этот путь корректен, но громоздок. Для таких случаев существует удобный и быстрый экзаменационный приём, известный как метод FOIL.

Что означает FOIL

FOIL — это мнемоника, описывающая порядок перемножения членов:

• F (First) — первые члены в скобках
  
  
• O (Outer) — внешние члены
  
  
• I (Inner) — внутренние члены
  
  
• L (Last) — последние члены
  
  

Произведение двух биномиалов равно сумме четырёх произведений, полученных по этому порядку.

Алгоритм FOIL

Для выражения:

(p + q)(r + s)

мы находим и складываем:

1. First: p × r
   
   
2. Outer: p × s
   
   
3. Inner: q × r
   
   
4. Last: q × s
   
   

Затем объединяем подобные члены, если они появляются.

Пример 1: пошаговое применение FOIL

Рассмотрим выражение:

(2x + y)(x + 2y)

Шаг 1: First

2x × x = 2x в квадрате

Шаг 2: Outer

2x × 2y = 4xy

Шаг 3: Inner

y × x = xy

Шаг 4: Last

y × 2y = 2y в квадрате

Шаг 5: сложение и упрощение

2x в квадрате + 4xy + xy + 2y в квадрате
= 2x в квадрате + 5xy + 2y в квадрате

Пример 2: биномиалы с вычитанием

Рассмотрим:

(2x − 5)(3x − 1)

FOIL:

• First: 2x × 3x = 6x в квадрате
  
  
• Outer: 2x × (−1) = −2x
  
  
• Inner: (−5) × 3x = −15x
  
  
• Last: (−5) × (−1) = +5
  
  

Объединяем подобные члены:

6x в квадрате − 17x + 5

Пример 3: биномиалы с высокими степенями

Рассмотрим:

(x в четвёртой степени + x)(x в пятой степени + x в квадрате)

FOIL:

• First: x в четвёртой × x в пятой = x в девятой
  
  
• Outer: x в четвёртой × x в квадрате = x в шестой
  
  
• Inner: x × x в пятой = x в шестой
  
  
• Last: x × x в квадрате = x в кубе
  
  

Объединяем подобные члены:

x в девятой + 2x в шестой + x в кубе

(использовано правило: при умножении степеней показатели складываются)

Практическое замечание

При применении FOIL:

• подобные члены появляются почти всегда;
  
  
• финальный шаг — обязательное упрощение.
  
  

Классическая ошибка: распределение степени

Одна из самых распространённых и опасных ошибок в алгебре:

(a + b) в квадрате ≠ a в квадрате + b в квадрате

Распределять степень на сумму или разность запрещено.

Как правильно возводить биномиал в квадрат

Возведение в квадрат означает умножение выражения самого на себя:

(a + b) в квадрате = (a + b)(a + b)

Теперь применяем FOIL:

• First: a × a = a в квадрате
  
  
• Outer: a × b = ab
  
  
• Inner: b × a = ab
  
  
• Last: b × b = b в квадрате
  
  

Складываем:

a в квадрате + 2ab + b в квадрате

Две ключевые формулы (важные паттерны)

Квадрат суммы

(a + b) в квадрате = a в квадрате + 2ab + b в квадрате

Квадрат разности

(a − b) в квадрате = a в квадрате − 2ab + b в квадрате

Эти формулы очень часто используются в алгебре и регулярно встречаются в задачах Quant.

Экзаменационное замечание

Не стоит их заучивать механически.
Лучший подход — уметь быстро выводить их через FOIL, тогда вы:

• не перепутаете знаки,
  
  
• не попадёте в типичную ловушку,
  
  
• будете уверены в результате.
  
  

Итоговые выводы

В этом уроке мы разобрали:

1. Метод FOIL как быстрый способ умножения двух биномиалов.
   
   
2. Обязательное объединение подобных членов после FOIL.
   
   
3. Критическую ошибку — попытку распределить степень на сумму.
   
   
4. Два ключевых алгебраических паттерна:
   
   
   • квадрат суммы,
     
     
   • квадрат разности.
     
     

Эти идеи — основа для дальнейшей работы с многочленами в Quant-разделе GMAT и GRE. Как найти наибольший общий множитель — следующий урок этого раздела.