Устранение дробей в линейных уравнениях

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

Этот урок — про линейные уравнения, в которых коэффициенты и/или константы являются дробями.
Предполагается, что базовые правила дробей тебе знакомы (если нет — действительно стоит вернуться к модулю про дроби).

Ниже — чёткая, экзаменационная логика, без лишней теории.

Ключевые факты о дробях (которые здесь используются)

Факт 1. Дробь × обратная дробь = 1

Если переменная умножена на дробь, мы избавляемся от дроби умножением на её обратную.

Пример:

35x=27\frac{3}{5}x = \frac{2}{7}53​x=72​

Умножаем обе части на 53\frac{5}{3}35​:

x=53⋅27=1021x = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{10}{21}x=35​⋅72​=2110​

Факт 2. Умножение и деление — один уровень операций

Это означает:

3×5=35x\frac{3x}{5} = \frac{3}{5}x53x​=53​x

Это одно и то же.
Очень важно: x в числителе дроби — это просто x, умноженный на дробный коэффициент.

Когда в уравнении есть сложение/вычитание дробей

Тут самая важная техника всего урока 

Стратегия: умножить ВСЁ уравнение на НОК знаменателей

Это называется очистка уравнения от дробей.

Пример 1

7×6+23=132\frac{7x}{6} + \frac{2}{3} = \frac{13}{2}67x​+32​=213​

Шаг 1. Находим НОК знаменателей

Знаменатели: 6, 3, 2
НОК = 6

Шаг 2. Умножаем КАЖДЫЙ член на 6

6⋅7×6+6⋅23=6⋅1326 \cdot \frac{7x}{6} + 6 \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{13}{2}6⋅67x​+6⋅32​=6⋅213​

Шаг 3. Упрощаем

• 6⋅7×6=7×6 \cdot \frac{7x}{6} = 7×6⋅67x​=7x
  
  
• 6⋅23=46 \cdot \frac{2}{3} = 46⋅32​=4
  
  
• 6⋅132=396 \cdot \frac{13}{2} = 396⋅213​=39
  
  

Получаем:

7x+4=397x + 4 = 397x+4=39

Шаг 4. Решаем обычное линейное уравнение

7x=35⇒x=57x = 35 \Rightarrow x = 57x=35⇒x=5

Пример 2 (ещё типичнее для GMAT)

x2+54=x3+154\frac{x}{2} + \frac{5}{4} = \frac{x}{3} + \frac{15}{4}2x​+45​=3x​+415​

Шаг 1. НОК знаменателей:

2, 4, 3 → 12

Шаг 2. Умножаем ВСЁ уравнение на 12

6x+15=4x+456x + 15 = 4x + 456x+15=4x+45

Шаг 3. Собираем x и числа

2x=30⇒x=152x = 30 \Rightarrow x = 152x=30⇒x=15

Очень важное наблюдение (GMAT-мышление)

После умножения на НОК:

• все дроби исчезают
  
  
• уравнение становится обычным линейным
  
  
• риск ошибок резко падает
  
  

На экзамене почти всегда выгодно первым шагом убирать дроби.

Комплексные дроби (fractions внутри дробей)

Что это такое

Большая дробь, где в числителе и/или знаменателе есть маленькие дроби.

Пример:

x2+54×3+32\frac{\frac{x}{2} + \frac{5}{4}}{\frac{x}{3} + \frac{3}{2}}3x​+23​2x​+45​​

Стратегия (та же самая!)

Умножь числитель и знаменатель всей дроби на НОК всех маленьких знаменателей

Здесь знаменатели: 2, 4, 3, 2 → НОК = 12

Умножаем и числитель, и знаменатель на 12:

Числитель:

12⋅(x2+54)=6x+1512 \cdot \left(\frac{x}{2} + \frac{5}{4}\right) = 6x + 1512⋅(2x​+45​)=6x+15

Знаменатель:

12⋅(x3+32)=4x+1812 \cdot \left(\frac{x}{3} + \frac{3}{2}\right) = 4x + 1812⋅(3x​+23​)=4x+18

Итог:

6x+154x+18\frac{6x + 15}{4x + 18}4x+186x+15​

Теперь это обычная рациональная дробь, с которой можно:

• сокращать
  
  
• подставлять
  
  
• решать уравнение
  
  

Итоговые правила (обязательно запомнить)

 Если дробь УМНОЖАЕТ x

→ умножай на обратную дробь

 Если дроби СКЛАДЫВАЮТСЯ или ВЫЧИТАЮТСЯ

→ умножай всё уравнение на НОК знаменателей

 Для комплексных дробей

→ умножай числитель и знаменатель на НОК всех маленьких знаменателей

Если хочешь, дальше логично пойти в:

• уравнения с дробями + факторизация
  
  
• ловушки GMAT (когда дроби кажутся страшными, но всё решается в 2 шага)
  
  
• Data Sufficiency с дробными уравнениями

Следующая глава будет посвящена квадратным уравнениям. А далее мы рассмотрим системы уравнений в GMAT/GRE.