Задачи с несколькими путешественниками

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Некоторые задачи на движение включают несколько путешественников или поездки, состоящие из нескольких участков. Часть таких идей мы уже видели в теме средней скорости. Базовый принцип остаётся тем же:

каждому путешественнику и каждому участку пути соответствует своё уравнение D = R × T.

Часто в таких задачах приходится:

• составлять несколько уравнений,
  
  
• а затем использовать методы решения двух уравнений с двумя неизвестными (подстановка или исключение).
  
  

Пример 1: Martha и Paul

Условие

• Martha и Paul выехали из A в B одновременно
  
  
• скорость Martha — 60 миль/ч
  
  
• скорость Paul — 40 миль/ч
  
  
• когда Martha прибыла в B, Paul был в 50 милях от B
  
  

Вопрос: каково расстояние между A и B?

Шаг 1. Переменные

Пусть:

• D — расстояние между A и B
  
  
• T — время от старта до момента, когда Martha приехала в B
  
  

Шаг 2. Расстояния

• Martha проехала всё расстояние D
  
  
• Paul не доехал 50 миль → он проехал D — 50
  
  

Шаг 3. Уравнения D = RT

Для Martha:

D = 60T

 

Для Paul:

D — 50 = 40T

 

Шаг 4. Решение

Подставим D = 60T во второе уравнение:

60T — 50 = 40T

 

20T = 50

T = 2.5

 

Теперь найдём D:

D = 60 × 2.5 = 150

 

Ответ

Расстояние между A и B равно 150 милям.

Пример 2: Frank и Georgia

Условие

• Frank и Georgia выехали из A в B одновременно
  
  
• скорость Georgia равна 1.5 скорости Frank
  
  
• Georgia доехала до B, сразу развернулась и поехала обратно
  
  
• они встретились, когда находились в 60 милях от B
  
  

Вопрос: каково расстояние между A и B?

Шаг 1. Переменные

• D — расстояние между A и B (это искомое)
  
  
• R — скорость Frank
  
  
• скорость Georgia = 1.5R
  
  
• T — время до момента встречи
  
  

Шаг 2. Расстояния за время T

• Frank не доехал до B → D — 60
  
  
• Georgia доехала до B и вернулась 60 миль → D + 60
  
  

Шаг 3. Уравнения

Для Frank:

D — 60 = RT

 

Для Georgia:

D + 60 = 1.5RT

 

Шаг 4. Подстановка

Из первого уравнения:

RT = D — 60

 

Подставляем во второе:

D + 60 = 1.5(D — 60)

 

Раскрываем:

D + 60 = 1.5D — 90

 

Переносим:

150 = 0.5D

D = 300

 

Ответ

Расстояние между A и B равно 300 милям.

Пример 3: Kevin (более сложная задача)

Условие

• Kevin ехал из A в B со скоростью 60 миль/ч
  
  
• затем развернулся и поехал обратно со скоростью 80 миль/ч
  
  
• за 4 часа до конца поездки он всё ещё ехал к B и находился в 15 милях от неё
  
  

Вопрос: каково расстояние между A и B?

Шаг 1. Время от точки P до B

• расстояние: 15 миль
  
  
• скорость: 60 миль/ч
  
  

T = 15 / 60 = 1/4 часа

 

Шаг 2. Время от B обратно в A

Вся оставшаяся часть пути заняла 4 часа:

4 − 1/4 = 15/4 часа

 

Шаг 3. Находим расстояние A–B

• скорость: 80 миль/ч
  
  
• время: 15/4 часа
  
  

Сначала сокращаем:

80 / 4 = 20

 

Теперь умножаем:

20 × 15 = 300

 

Ответ

Расстояние между A и B равно 300 милям.

Итог по задачам с несколькими путешественниками

• Если задача включает:
  
  
  • несколько путешественников,
    
    
  • несколько участков пути,
    
    
  • разворот или встречу,
    
    
• каждому участнику и каждому участку соответствует своё уравнение D = RT.
  
  
• Иногда удаётся:
  
  
  • выразить одну величину через другую и подставить,
    
    
  • избавиться сразу от нескольких переменных.
    
    
• Чаще всего используются:
  
  
  • подстановка,
    
    
  • исключение (решение двух уравнений с двумя неизвестными).
    
    

Если эти методы пока вызывают сложности, стоит вернуться к соответствующим темам в разделе алгебры — они активно применяются в задачах на движение на GMAT и GRE.

Следующей главой будет глава о сближающихся и расходящихся расстояниях.