Введение в степени

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

В этом модуле мы начинаем работу со степенями и корнями. Чтобы понять, что такое степень, полезно сначала вспомнить смысл умножения.

1. Степень как «сокращённое умножение»

Умножение — это способ выполнить много сложений сразу.
Например, если нужно сложить шесть четвёрок, никто не будет писать:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

Вместо этого мы сразу запишем:
4 × 6

Точно так же степени — это способ выполнить много умножений сразу.

Если нужно перемножить семь троек:

3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

мы не записываем это выражение полностью. Вместо этого используем компактную запись:

3 в седьмой степени

2. Формальное определение степени

В общем виде:

b в степени n означает, что n множителей b перемножаются между собой.

Запись:

• b — основание
  
  
• n — показатель степени
  
  
• bⁿ — степень (power)
  
  

Пример:

• 3 в степени 7 = произведение семи троек
  
  

Важно:
На GMAT не требуется вычислять числовое значение вроде 3 в степени 7.
Вам нужно уметь работать с такими выражениями символически — применять правила степеней при умножении, делении, возведении в степень и сравнении величин.

3. Ограничение определения (пока)

Такое определение предполагает, что n — натуральное число (положительное целое).
Это определение полностью корректно для положительных целых степеней, и именно ими мы ограничиваемся в этом модуле.

В следующих модулях мы расширим понятие степени и разберём:

• отрицательные показатели
  
  
• дробные показатели
  
  

4. Степени чисел и переменных

Степени можно применять как к числам, так и к переменным:

• 7 в степени 8
  
  
• x в квадрате
  
  

Фразы:

• «7 в степени 8»
  
  
• «7 в восьмой степени»
  
  

Обе формулировки корректны.

Особые названия:

• степень 2 — квадрат
  
  
• степень 3 — куб
  
  

Мы говорим:

• x в квадрате
  
  
• x в кубе
  
  

И почти никогда не говорим «x в степени 2» или «x в степени 3».

5. Основание, равное 1

Если основание равно 1, показатель степени не имеет значения:

1 в любой степени = 1

Это верно для любого числа n, а не только для положительных целых.

6. Основание, равное 0

Если основание равно 0, то:

0 в любой положительной степени = 0

Это справедливо:

• для положительных целых
  
  
• для положительных дробей
  
  
• для любого числа справа от 0 на числовой прямой
  
  

Случаи:

• 0 в степени 0
  
  
• 0 в отрицательной степени
  
  

не рассматриваются на GMAT и могут быть проигнорированы.

7. Неявная степень 1

Если степень не указана, считается, что она равна 1:

• b = b в степени 1
  
  

Это означает, что в произведении есть ровно один множитель b.

Примеры:

• 2 в степени 1 = 2
  
  
• 2 в квадрате = 4
  
  
• 2 в кубе = 8
  
  

8. Отрицательное основание и чётность степени

Рассмотрим степени отрицательного числа:

• (-2) в степени 1 = -2
  
  
• (-2) в степени 2 = 4
  
  
• (-2) в степени 3 = -8
  
  
• (-2) в степени 4 = 16
  
  

Возникает чёткий шаблон:

• отрицательное число в чётной степени → положительное
  
  
• отрицательное число в нечётной степени → отрицательное
  
  

9. Следствия для уравнений

Чётные степени

Уравнение вида:

• x в квадрате = 4
  
  

имеет два решения:

• x = 2
  
  
• x = -2
  
  

Если выражение в чётной степени равно отрицательному числу:

• (x − 1) в квадрате = -4
  
  

решений нет.

Нечётные степени

Уравнение вида:

• x в кубе = 8
  
  

имеет одно решение:

• x = 2
  
  

Нечётная степень может быть равна отрицательному числу:

• x в кубе = -1 → x = -1
  
  

10. Что нужно знать наизусть для GMAT

Как и таблицу умножения, полезно знать базовые степени однозначных чисел.

Рекомендации:

• степени числа 2 минимум до 2 в степени 9
  
  
• степени числа 3 до 3 в степени 4
  
  
• степени чисел 4 и 5 до четвёртой степени
  
  
• квадраты и кубы чисел от 6 до 9
  
  
• все степени числа 10
  
  

Степени 10 особенно просты:

• положительные — добавляем нули
  
  
• отрицательные — сдвигаем запятую вправо
  
  

11. Итоговые ключевые факты

• b в степени n — это n множителей b
  
  
• 1 в любой степени равно 1
  
  
• 0 в любой положительной степени равно 0
  
  
• отрицательное число:
  
  
  • в чётной степени — положительное
    
    
  • в нечётной степени — отрицательное
    
    
• выражение в чётной степени не может равняться отрицательному числу
  
  
• базовые степени однозначных чисел нужно знать автоматически
  
  

Понимание этих принципов критически важно для дальнейшего изучения правил степеней и решения алгебраических задач GMAT Quant.

Далее мы изучим экспоненциальный рост степеней.