Вероятность события A ИЛИ события B

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

Теперь, когда мы разобрались с понятием взаимоисключающих событий, можно перейти к одному из ключевых правил теории вероятностей — правилу OR.

Это правило имеет две версии:

• простую,
  
  
• общую (универсальную).
  
  

Интуитивная идея правила OR

В самом грубом приближении в теории вероятностей слово OR означает «складывать».

Это полезный ориентир, но он работает корректно не всегда. Чтобы понимать, когда именно можно просто складывать вероятности, нужно чётко различать случаи.

Простое правило OR

(для взаимоисключающих событий)

Если события A и B являются взаимоисключающими, то вероятность того, что произойдёт A или B, равна сумме их вероятностей:

P(A или B) = P(A) + P(B)

Иначе говоря, если два события не могут произойти одновременно, то для нахождения вероятности «A или B» достаточно просто сложить их отдельные вероятности.

Визуальная логика

Если изобразить события A и B в виде кругов:

• при взаимоисключении круги не пересекаются,
  
  
• нет ни одной точки, которая одновременно принадлежит и A, и B.
  
  

Чтобы найти общую площадь, занимаемую двумя непересекающимися кругами, мы просто складываем их площади. Именно это и отражает простое правило OR.

Что меняется, если события не взаимоисключающие

Теперь рассмотрим ситуацию, когда события A и B не являются взаимоисключающими.

Это означает, что:

• существует область, в которой A и B могут произойти одновременно,
  
  
• на диаграмме появляется перекрытие.
  
  

Ошибка простого сложения

Если в этом случае просто сложить P(A) и P(B), возникнет проблема:

• область перекрытия будет учтена дважды,
  
  
• получившаяся вероятность окажется завышенной.
  
  

Именно эту двойную учётность нужно исправить.

Общее правило OR

(работает всегда)

Чтобы устранить двойной подсчёт, из суммы вероятностей нужно вычесть вероятность пересечения событий.

Итоговая формула:

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)

Это универсальное правило, которое верно в 100 процентах случаев, независимо от того, являются ли события взаимоисключающими или нет.

Связь между простым и общим правилом

Если события A и B взаимоисключающие, то:

P(A и B) = 0

Подставляя это в общее правило, мы получаем:

P(A или B) = P(A) + P(B)

То есть простое правило OR — это частный случай общего правила.

Почему важно помнить геометрическую интерпретацию

Если вы запомните идею диаграммы с перекрытием:

• станет понятно, откуда берётся вычитание,
  
  
• будет легче избежать типичных ошибок на экзамене.
  
  

GMAT и GRE очень часто проверяют, понимаете ли вы когда можно просто складывать, а когда необходимо учитывать пересечение событий.

Выводы

• Существует два правила OR: простое и общее.
  
  
• Простое правило работает только для взаимоисключающих событий.
  
  
• Общее правило OR работает всегда.
  
  
• Формула общего правила:
  P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).
  
  
• Простое правило — это частный случай общего.
  
  

Сейчас всё выглядит достаточно абстрактно, так как мы работаем с формулами и обозначениями. В следующем уроке мы разберём конкретные примеры и увидим, как правило OR применяется в реальных экзаменационных задачах.

Рассмотрим примеры применения правила OR.