Введение в теорию вероятностей

Это первое занятие модуля по теории вероятностей. Вероятность — одна из самых непростых тем в Quant, и не в последнюю очередь потому, что у многих людей есть устойчивые заблуждения о том, что такое вероятность. Поэтому начнём очень медленно и аккуратно, с базовых определений.

Что такое вероятность

Вероятность по своей сути — это отношение, то есть дробь.

Вероятность равна отношению количества «успехов» к общему количеству возможных исходов:

вероятность = число успехов / общее число исходов

Иначе говоря, из всех попыток (испытаний), которые мы совершаем, в скольких из них происходит нужный нам результат.

Важно понимать, что слово «успех» здесь используется в очень широком и формальном смысле. Например, если мы подбрасываем монету, то можем считать выпадение орла «успехом».
Речь не идёт об успехе в жизненном смысле — это просто обозначение интересующего нас исхода.

Диапазон значений вероятности

Любая вероятность всегда находится в диапазоне от 0 до 1 включительно:

• вероятность может быть равна 0,

   

• может быть равна 1,

   

• или находиться где-то между ними,

   

но никогда не может быть меньше 0 или больше 1.

Вероятность, равная 0

Если вероятность равна 0, это означает, что число успехов равно 0.
Независимо от того, сколько раз мы повторим эксперимент, ни одного успеха не будет.

Иными словами, вероятность 0 означает невозможность события.

Вероятность, равная 1

Если вероятность равна 1, числитель и знаменатель равны.
Это значит, что каждый возможный исход является успехом.

Следовательно, вероятность 1 означает полную уверенность, событие происходит всегда.

Очевидно, что большинство интересных реальных вероятностей не равны ни 0, ни 1, а лежат где-то между этими значениями.

Простейший пример вычисления вероятности

Рассмотрим пример, намного более простой, чем то, что вы увидите на GMAT или GRE.

Вопрос:
Какова вероятность того, что название месяца содержит букву R?

Шаг 1. Перечисляем все возможные исходы

Всего в английском языке 12 месяцев. Мы просто выписываем их и смотрим, какие из них содержат букву R.

Оказывается, что 8 месяцев содержат букву R.

Шаг 2. Составляем дробь

Вероятность равна:

8/12

Шаг 3. Приводим дробь к наименьшему виду

Сокращаем дробь на 4:

2/3

Ответ: вероятность того, что название месяца содержит букву R, равна 2/3.

О стратегии перечисления (listing)

В этом примере мы смогли просто перечислить все возможные варианты и построить отношение на основе списка.

Важно понимать:
на реальном экзамене почти никогда не будет задач, где перечисление всех исходов является эффективным решением.

Тем не менее, составление списка часто полезно:

• чтобы разобраться в условиях задачи,

   

• чтобы понять, какие именно события рассматриваются,

   

• чтобы «почувствовать» структуру проблемы.

   

Таким образом, перечисление — это не столько стратегия решения, сколько способ осмыслить ситуацию. Позже мы будем использовать более мощные и универсальные методы.

Что означает слово «случайный» (random)

Ещё одно важное понятие в теории вероятностей — слово random. В повседневной речи с ним связано много заблуждений.

Обычно думают, что «случайный» означает хаотичный и непредсказуемый. Это верно лишь частично.

В математике слово «random» имеет строгое определение, состоящее из двух частей:

1. Каждое отдельное событие полностью непредсказуемо.

    

2. Общая картина событий в долгосрочной перспективе полностью предсказуема.

    

Обе эти идеи одинаково важны.

Пример с подбрасыванием монеты

Если мы подбрасываем монету:

• при каждом отдельном броске невозможно заранее сказать, выпадет орёл или решка;

   

• даже если подряд выпало пять орлов, вероятность орла или решки при следующем броске всё равно равна 1/2.

   

Каждое отдельное испытание непредсказуемо.

Однако, если подбросить монету, например, 1000 раз и записать результаты, мы с высокой степенью уверенности получим:

• примерно 500 орлов,

   

• и примерно 500 решек.

   

Маловероятно, что число орлов будет меньше 490 или больше 510.

Более того, чем больше число бросков, тем ближе отношение орлов к решкам будет к 1/2.

Это и есть суть математической случайности:
отдельные события непредсказуемы, но общий результат в долгосрочной перспективе строго подчиняется закономерностям.

Выводы

• Вероятность — это дробь (отношение) от 0 до 1.

   

• Вероятность 0 означает невозможность события.

   

• Вероятность 1 означает абсолютную уверенность.

   

• Если все исходы можно перечислить, вероятность можно найти простым подсчётом.

   

• Перечисление — полезный инструмент для понимания задачи, но редко является основным методом на экзамене.

   

• «Случайный» в математике означает:
  индивидуально непредсказуемо, но в целом закономерно.

   

В следующих уроках мы перейдём от самых простых идей к более общим и абстрактным правилам теории вероятностей, которые активно используются в задачах GMAT и GRE.

Продолжим изучение этого раздела дополнительными событиями и и простыми правилами теории вероятности. А также изучим взаимоисключающие события.