Переход между дробями и десятичными числами

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Преобразование дробей в десятичные числа — базовый навык Quant, который регулярно используется косвенно, даже если вопрос формально не про конвертацию. GMAT проверяет, понимаете ли вы природу чисел, а не просто умеете ли нажимать кнопки калькулятора (которого, напомним, в Quant нет).

1) Рациональные числа и десятичные записи

Все дроби относятся к классу рациональных чисел (rational numbers), потому что они представляют собой отношения целых чисел:

a / b,  где a и b — целые, b ≠ 0

 

Когда рациональное число записывается в виде десятичной дроби, возможны только два варианта:

1. десятичная дробь оканчивается (terminating)
   
   
2. десятичная дробь бесконечна, но периодична (repeating)
   
   

Других вариантов не существует.

2) Оканчивающиеся десятичные дроби (terminating decimals)

Оканчивающаяся десятичная дробь — это дробь, у которой есть конечное число знаков после запятой.

Примеры

1/4 = 0.25

3/8 = 0.375

 

После последнего знака десятичная запись заканчивается навсегда — это точное значение, не приближение.

3) Периодические десятичные дроби (repeating decimals)

Если десятичная запись не заканчивается, она обязательно повторяется.

Примеры

1/3 = 0.3333…

 

Корректная запись:

1/3 = 0.\overline{3}

 

Другой тип — повторяющийся блок цифр:

1/7 = 0.\overline{142857}

 

Этот шестизначный паттерн повторяется бесконечно.

📌 На GMAT не требуется знать весь период для 1/7 — достаточно разумной оценки (см. ниже).

4) Дроби → десятичные: что нужно ЗНАТЬ наизусть

Для эффективности на тесте некоторые преобразования нужно помнить автоматически.

Обязательные соответствия

Доли от 2 и 4

1/2 = 0.5

1/4 = 0.25

3/4 = 0.75

 

Третьи

1/3 = 0.\overline{3}

2/3 = 0.\overline{6}

 

Пятые

1/5 = 0.2

2/5 = 0.4

3/5 = 0.6

4/5 = 0.8

 

Шестые

1/6 = 0.1\overline{6}

5/6 = 0.8\overline{3}

 

Восьмые

1/8 = 0.125

3/8 = 0.375

5/8 = 0.625

7/8 = 0.875

 

Девятые (очень полезный паттерн)

1/9 = 0.\overline{1}

7/9 = 0.\overline{7}

 

Любая повторяющаяся цифра x → x/9

5) Что делать с 1/7 и «сложными» дробями

1/7 = 0.142857…

 

❌ Запоминать весь период — не обязательно
✅ Достаточно помнить:

1/7 ≈ 0.143

 

Этого хватает для:

• оценки
  
  
• сравнения ответов
  
  
• elimination strategy
  
  

6) Использование степеней 10 для конвертации

Очень мощный приём — разложение дроби через степени 10.

Пример: 1/20

Способ 1:

1/20 = 5/100 = 0.05

 

Способ 2:

1/20 = (1/2) × (1/10)

0.5 × 0.1 = 0.05

 

Пример: 1/40

1/40 = 0.025

 

Потому что:

1/40 = 1/4 × 1/10

0.25 × 0.1 = 0.025

 

Пример: 1/600

1/600 = 1/6 × 1/100

 

1/6 = 0.1\overline{6}

 

Сдвигаем запятую на 2 позиции:

0.001\overline{6}

 

7) Универсальный принцип

Если знаменатель дроби состоит только из 2 и 5,
десятичная запись обязательно будет оканчиваться.

Примеры:

1/8   (2³)   → оканчивается

1/20  (2²×5) → оканчивается

 

Если в знаменателе есть другие простые множители (3, 7, 11 и т.д.) → будет период.

8) Важное уточнение: иррациональные числа

Все дроби → рациональные числа → terminate или repeat.

Но существуют десятичные дроби, которые:

• не заканчиваются
  
  
• не повторяются
  
  

Это иррациональные числа.

Примеры

π

√2

φ (золотое сечение)

 

❌ Нельзя представить в виде a/b
❌ Никогда не повторяются
❌ Не используются в дробных преобразованиях GMAT напрямую

9) Формулы и соответствия (готовый блок)

Классификация

Рациональные числа → terminating ИЛИ repeating

 

Повторяющиеся дроби

x/9 = 0.\overline{x}

 

Преобразование через степени 10

1/(2×10ⁿ) = 0.5 × 10⁻ⁿ

1/(4×10ⁿ) = 0.25 × 10⁻ⁿ

 

Приближение

1/7 ≈ 0.143

 

10) Типичные ловушки GMAT

❌ считают периодическую дробь приближением
❌ путают 0.166… и 0.167
❌ не видят связь дроби с 1/10ⁿ
❌ не распознают repeating pattern
❌ считают, что «бесконечная дробь ≠ точное значение»

Краткое резюме

• все дроби → terminating или repeating
  
  
• ключевые дроби нужно знать наизусть
  
  
• степени 10 — универсальный инструмент
  
  
• 1/7 достаточно помнить приближённо
  
  
• бесконечная дробь ≠ неточная

Далее мы рассмотрим свойства дробей, а также их сравнение.