Наклон прямой

Эта тема является частью раздела о координатной плоскости в Quant GMAT Focus.

Самая важная характеристика прямой на координатной плоскости — это наклон (slope).
Наклон показывает, насколько круто расположена прямая, то есть под каким углом она идёт относительно оси X.

Разные прямые имеют разные углы наклона, и именно наклон позволяет количественно описывать эту разницу.

Определение наклона: rise over run

Одно из самых распространённых и полезных определений наклона — это:

наклон = подъём / пробег (rise over run)

• run (пробег) — горизонтальное смещение слева направо
  Оно считается положительным, если мы движемся слева направо.

   

• rise (подъём) — вертикальное смещение при движении слева направо:

   

  • если точка справа выше — подъём положительный,

     

  • если ниже — подъём отрицательный.

     

Пример 1: положительный наклон

Найдём наклон между двумя точками (2, 2) и другой точкой справа от неё.

Если мысленно построить треугольник наклона, мы увидим:

• горизонтальное смещение (run) равно 4,

   

• вертикальное смещение (rise) равно 3.

   

Следовательно, наклон равен:

3/4

Пример 2: отрицательный наклон

Найдём наклон между точками (−4, 2) и (5, −1).

Рассуждаем через треугольник наклона:

• вертикальное смещение равно −3 (справа точка ниже),

   

• горизонтальное смещение равно 9.

   

Наклон:

−3/9 = −1/3

Важное замечание о понимании наклона

Если вам даны числовые координаты двух точек, настоятельно рекомендуется:

• мысленно или схематично строить треугольник наклона,

   

• а не сразу механически применять формулу.

   

Чрезмерная опора на формулы часто приводит к поверхностному пониманию.
Координатная плоскость — это визуальная модель, и наклон лучше всего понимать именно визуально.

Формула наклона

Несмотря на предупреждение, формула всё же полезна в ряде ситуаций.

Пусть заданы две точки:

• (x1, y1)

   

• (x2, y2)

   

Тогда:

• run = x2 − x1

   

• rise = y2 − y1

   

Наклон = (y2 − y1) / (x2 − x1)

Формула удобна, но концепция подъёма и пробега гораздо важнее для глубокого понимания.

Наклон — свойство всей прямой

Наклон — это характеристика всей прямой, а не отдельной пары точек.

Это означает:

• на одной и той же прямой любой выбор двух точек даёт один и тот же наклон,

   

• все треугольники наклона на этой прямой подобны.

   

Например, если наклон равен 1/2, то:

• 1 вверх и 2 вправо,

   

• 2 вверх и 4 вправо,

   

• 5 вверх и 10 вправо

   

— все эти движения соответствуют одной и той же прямой.

Интерпретация наклона m = 2

Наклон 2 означает:

• вправо 1 и вверх 2,

   

• вправо k и вверх 2k,

   

• влево 1 и вниз 2,

   

• влево k и вниз 2k.

   

Все эти перемещения сохраняют одно и то же отношение подъёма к пробегу.

Пример:
Если точка (−3, −1) лежит на прямой с наклоном 2, то:

• вправо 1 и вверх 2 → (−2, 1),

   

• влево 1 и вниз 2 → (−4, −3).

   

Обе точки лежат на той же прямой.

Дробный наклон: пример −2/3

Наклон −2/3 может означать:

• вправо 3 и вниз 2,

   

• вправо 3k и вниз 2k,

   

• вправо 1 и вниз 2/3,

   

• влево 3 и вверх 2,

   

• влево 1 и вверх 2/3.

   

Главное — сохраняется одно и то же отношение.

Пример задачи уровня GMAT

Условие:
Прямая проходит через точку (2, −1) и имеет наклон 5/3.
Найти все точки (A, B) на этой прямой, где A и B — целые числа, а их абсолютные значения не превышают 10.

Решение:

• Чтобы обе координаты оставались целыми, нужно двигаться:

   

  • вправо 3,

     

  • вверх 5.

     

• Из точки (2, −1) получаем:

   

  • (5, 4)

     

  • затем (8, 9)

     

• Следующая точка дала бы координаты больше 10 по модулю — не подходит.

   

Теперь движемся в противоположную сторону:

• влево 3,

   

• вниз 5:

   

  • (−1, −6)

     

Следующее смещение даст y = −11, что превышает допустимый диапазон.

Итого:
Подходящие точки:
(5, 4), (8, 9), (−1, −6)

Особые наклоны: ±1

Если наклон равен 1 или −1:

• подъём равен пробегу,

   

• треугольник наклона — равнобедренный прямоугольный,

   

• прямая образует угол 45 градусов с осями координат.

   

Это важно запомнить:
прямые с наклоном ±1 всегда образуют 45-градусные углы с осями.

Если:

• наклон больше 1,

   

• или меньше −1,

   

то прямая круче, чем линия под углом 45 градусов.

Параллельные прямые

Если две прямые параллельны, то:

• они поднимаются и опускаются одинаково,

   

• их подъёмы и пробеги пропорциональны.

   

Вывод:
Параллельные прямые имеют одинаковые наклоны.

Перпендикулярные прямые

Если две прямые перпендикулярны, то:

1. Их наклоны имеют противоположные знаки.

    

2. Их наклоны являются взаимно обратными (reciprocals).

    

Иначе говоря:

• числитель и знаменатель меняются местами,

   

• знак меняется на противоположный.

   

Пример:
Если наклон одной прямой равен 1/2,
то наклон перпендикулярной равен −2.

Итоговые выводы

• Наклон — это подъём / пробег.

   

• Наклон можно находить через треугольник наклона или формулу.

   

• Наклон одинаков для любых двух точек одной прямой.

   

• Прямые с наклоном ±1 образуют углы 45 градусов с осями.

   

• Параллельные прямые имеют равные наклоны.

   

• Перпендикулярные прямые имеют противоположные по знаку взаимно обратные наклоны.

   

Понимание наклона — фундамент для всех последующих тем, связанных с уравнениями и графиками прямых на GMAT. Поэтому далее мы переходим к пересечению с осями.