Дробные показатели степени

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

В этом уроке мы явно связываем корни и степени. До этого момента мы работали только с целыми показателями степени: положительными, отрицательными и нулём. Теперь расширим определение и разберём, что означает дробный показатель степени и как с ним работать на GMAT Quant.

1. Что означает степень 1/2

Рассмотрим выражение:

• 2^(1/2)
  
  

Чтобы понять его смысл, введём вспомогательную переменную:

• 2^(1/2) = k
  
  

Теперь возведём обе части в квадрат:

• (2^(1/2))^2 = k^2
  
  

По закону степеней:

• (1/2) × 2 = 1
  
  

Следовательно:

• k^2 = 2
  
  
• k = √2
  
  

Вывод

• 2^(1/2) = √2
  
  

Иначе говоря:

Возведение числа в степень 1/2 — это нахождение его положительного квадратного корня.

2. Степень 1/3 и кубический корень

Аналогично рассмотрим:

• 2^(1/3)
  
  

Пусть:

• 2^(1/3) = k
  
  

Возводим обе части в куб:

• (2^(1/3))^3 = k^3
  
  

По закону степеней:

• (1/3) × 3 = 1
  
  

Получаем:

• k^3 = 2
  
  
• k = ∛2
  
  

Вывод

• 2^(1/3) = ∛2
  
  

3. Общее правило: связь дробных степеней и корней

Из этих примеров следует фундаментальное правило:

b^(1/n) = n-й корень из b

Примеры:

• b^(1/2) = квадратный корень из b
  
  
• b^(1/3) = кубический корень из b
  
  
• b^(1/4) = четвёртый корень из b
  
  

Например:

• 6^(1/7) = седьмой корень из 6
  
  

Это число, которое при возведении в седьмую степень даёт 6.

4. Если в числителе дроби не 1

Теперь рассмотрим степень вида:

• b^(m/n)
  
  

Здесь можно использовать два эквивалентных подхода, оба допустимы по законам степеней.

Подход 1: сначала степень, потом корень

• b^(m/n) = n-й корень из (b^m)
  
  

Подход 2: сначала корень, потом степень

• b^(m/n) = (n-й корень из b)^m
  
  

Оба способа математически равны.

5. Стратегия для GMAT: сначала делай меньше

Хотя оба подхода корректны, на тесте действует важное практическое правило:

Всегда сначала выполняй операцию, которая уменьшает число, а уже потом — ту, которая увеличивает.

6. Пример: 8^(4/3)

Рассмотрим выражение:

• 8^(4/3)
  
  

Плохой путь

• Сначала 8^4 → большое число
  
  
• Потом брать кубический корень → сложно и неэффективно
  
  

Правильный путь

Запишем как:

• (∛8)^4
  
  

Теперь считаем:

• ∛8 = 2
  
  
• 2^4 = 16
  
  

Ответ

• 8^(4/3) = 16
  
  

7. Ограничения на основание

Все эти правила корректны при положительном основании.

Дополнительно:

• Если знаменатель дробного показателя степени нечётный, основание может быть отрицательным
  
  
  • например, (−8)^(1/3) = −2
    
    
• Если знаменатель чётный, отрицательное основание недопустимо
  
  
  • например, (−4)^(1/2) не определено в действительных числах
    
    

Это полностью согласуется с правилами для чётных и нечётных корней.

Итоги

1. Дробные показатели степени — это другой способ записи корней
   
   
2. b^(1/n) = n-й корень из b
   
   
3. b^(m/n) можно записать:
   
   
   • как n-й корень из b^m
     
     
   • или как (n-й корень из b)^m
     
     
4. На GMAT всегда выгоднее сначала извлекать корень, а потом возводить в степень
   
   
5. Самый частый случай на экзамене — степень 1/2, то есть квадратный корень
   
   

Понимание дробных показателей степени позволяет свободно переходить между степенями и корнями — это важный навык для сложных задач GMAT Quant.

Далее изучим показательные уравнения.