Остатки при делении

Эта тема является частью раздела целочисленных свойств в Quant GMAT Focus.

Тема остатков — одна из ключевых в разделе Integer Properties. Ранее, обсуждая деление, мы в основном рассматривали случаи, когда одно число делится на другое нацело, то есть без остатка. Теперь разберем, что происходит, когда деление не является точным.

Деление без остатка и с остатком

Если целое число делится на свой делитель, результат — целое число, и это число является фактором исходного.

Пример:

• 21 ÷ 3 = 7

   

• 7 — фактор 21

   

• Аналогично: 21 ÷ 7 = 3

   

Оба случая отражают тот факт, что:

• 3 × 7 = 21

   

Что происходит, если делитель не является фактором

Рассмотрим:

• 17 ÷ 5

   

Существует два корректных математических способа описать результат.

Два типа частного

1. Смешанное (или дробное) частное

• 17 ÷ 5 = 17/5

   

• В виде смешанного числа: 3 2/5

   

Это означает:

• 17 ÷ 5 = 3 + 2/5

   

Такой ответ корректен и используется, когда в задаче допустимы дроби или десятичные числа.

2. Целое частное и остаток

Если мы хотим сохранить все в рамках целых чисел, то говорим:

• 5 входит в 17 3 раза, с остатком 2

   

Здесь:

• 3 — целое частное

   

• 2 — остаток

   

На экзамене GMAT это всегда формулируется словами, а не записью вида
17 ÷ 5 = 3 остаток 2.

Примеры (без калькулятора)

Попробуйте определить целое частное и остаток.

• 20 ÷ 6

   

  • 6 × 3 = 18

     

  • остаток 2

     

• 95 ÷ 7

   

  • 7 × 13 = 91

     

  • остаток 4

     

• 56 ÷ 8

   

  • 8 × 7 = 56

     

  • остатка нет (деление нацело)

     

Термины в задачах на остатки

Рассмотрим указанные элементы:

• Dividend (делимое) — число, которое делят

   

• Divisor (делитель) — число, на которое делят

   

• Quotient (целое частное) — сколько раз делитель «входит»

   

• Remainder (остаток) — что остается

   

Важно:
Здесь слово divisor используется не как синоним фактора, а в прямом смысле — «на что делят».

Ключевое свойство остатка

Остаток всегда:

• больше или равен 0

   

• строго меньше делителя

   

Если бы остаток был больше или равен делителю, деление можно было бы продолжить.

Связь между целым и дробным частным

Пусть:

• D — делимое

   

• S — делитель

   

• Q — целое частное

   

• r — остаток

   

Тогда:

• D ÷ S = Q + r/S

   

Это фундаментальная формула.

Важное следствие

Если результат деления записан:

• в виде смешанного числа

   

• или в виде десятичной дроби

   

то дробная часть равна r/S.

Пример:

• если дробная часть равна 0.375, то это 3/8

   

При этом:

• r/S = 3/8

   

• r и S могут быть 3 и 8

   

• но также 6 и 16, 9 и 24 и т.д.

   

Известно только отношение, а не конкретные значения.

Генерация чисел с заданным остатком

Пример

Какие числа при делении на 12 дают остаток 5?

Самое простое:

• 17 (12 × 1 + 5)

   

Далее:

• 17 + 12 = 29

   

• 29 + 12 = 41

   

• 41 + 12 = 53

   

Общий вид:

• любое число вида 12k + 5

   

Добавление или вычитание делителя сохраняет остаток.

Маленький, но важный нюанс

Наименьшее положительное число, которое при делении на 12 дает остаток 5, — это 5, а не 17.

Почему:

• 12 больше 5

   

• 12 входит в 5 ноль раз

   

• целое частное = 0

   

• остаток = 5

   

Экзамен часто проверяет этот момент.

Восстановление делимого (ключевая формула)

Умножим базовую формулу на делитель S:

• D = S × Q + r

   

Это одна из самых важных формул во всем разделе Integer Properties.
Ее часто называют формулой восстановления делимого.

Экзаменационный пример (GMAT-style)

Условие:

При делении положительного целого числа N на P:

• целое частное = 18

   

• остаток = 7

   

При делении N на (P + 2):

• целое частное = 15

   

• остаток = 1

   

Найти N.

Шаг 1. Записываем уравнения

Из первого условия:

• N = 18P + 7

   

Из второго условия:

• N = 15(P + 2) + 1

   

• N = 15P + 31

   

Шаг 2. Приравниваем выражения

• 18P + 7 = 15P + 31

   

• 3P = 24

   

• P = 8

   

Шаг 3. Находим N

• N = 18 × 8 + 7

   

• N = 144 + 7

   

• N = 151

   

Итоги

В этой главе мы разобрали:

• два способа представления деления без точного результата

   

• различие между смешанным частным и целым частным с остатком

   

• свойства остатка (0 ≤ r < делителя)

   

• связь дробной части результата с отношением r/S

   

• генерацию чисел с заданным остатком

   

• важный частный случай, когда делитель больше делимого

   

• ключевую формулу:
  D = S × Q + r

   

Тема остатков регулярно используется в сложных задачах GMAT и GRE, особенно в многошаговых логических и алгебраических вопросах. Далее рассмотрим стратегии решения задач на свойства целых чисел.