Функциональная запись

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

Ещё одна важная тема продвинутой алгебры — функциональная запись. Она регулярно встречается в Quant-разделе GMAT и требует аккуратного, формального понимания.

Идея функции

Значение любого алгебраического выражения с переменной x зависит от значения x.

Примеры:

• x^2

   

• x^2 + 4

   

• 3x — 7

   

• 1/x

   

Если подставлять разные значения x, мы будем получать разные результаты (выходы).

Замечание:

• в выражение 1/x нельзя подставлять x = 0

   

• в остальные выражения можно подставлять любые числа: положительные, отрицательные, дроби

   

Что такое функция

Функция — это правило, которое:

• принимает входное значение

   

• сопоставляет ему выходное значение

   

Экзаменационное определение:

На GMAT функция всегда задаётся алгебраическим выражением.

• вход — значение, которое мы подставляем

   

• выход — результат вычисления выражения

   

Функциональная запись

Если функция называется f, её записывают так:

f(x)

Это читается как «эф от икс».

Важно:

• f(x) не означает умножение

   

• f — это оператор, а не число

   

Пример задания функции

Пусть функция задана так:

f(x) = x^2 + 4

Это означает:

• возьми любое значение x

   

• возведи его в квадрат

   

• прибавь 4

   

• получи результат

   

Подстановка числового значения

Найдем значение функции при x = 3.

Запись:

• f(3)

   

Вычисление:

• f(3) = 3^2 + 4

   

• f(3) = 9 + 4

   

• f(3) = 13

   

Интерпретация

• вход: 3

   

• выход: 13

   

Пример вычислений значений функции

Пусть:

• f(x) = x^2 + 4x — 21

   

Найдем значения:

1) f(0)

• f(0) = 0 + 0 — 21 = -21

   

2) f(3)

• f(3) = 9 + 12 — 21 = 0

   

Значит:

• x = 3 — корень функции (значение, при котором f(x) = 0)

   

3) f(-1)

• f(-1) = 1 — 4 — 21 = -24

   

Решение уравнений вида f(x) = число

Пусть:

• f(x) = x^2 + 4x — 21

   

Найти x, если:

• f(x) = 24

   

Шаг 1. Приравниваем выражение

• x^2 + 4x — 21 = 24

   

Шаг 2. Приводим к стандартному виду

• x^2 + 4x — 45 = 0

   

Шаг 3. Факторизация

• (x — 5)(x + 9) = 0

   

Шаг 4. Решения

• x = 5

   

• x = -9

   

Интерпретация

• f(5) = 24

   

• f(-9) = 24

   

Функция с параметром

Очень типичный формат GMAT.

Пусть:

• f(x) = x^2 + kx + 4

   

Найти k, если:

• f(2) = 18

   

Решение

Подставляем x = 2:

• 2^2 + 2k + 4 = 18

   

• 8 + 2k = 18

   

• 2k = 10

   

• k = 5

   

Какие функции встречаются на GMAT

• линейные функции — простые, ограниченное число вопросов

   

• квадратичные функции — очень часто

   

• тригонометрические функции — не встречаются

   

• более сложные функции — только в самых сложных задачах

   

Подстановка выражений в функцию

Ключевая идея:

x — это заполнитель, а не обязательно число.

Вместо числа можно подставить:

• алгебраическое выражение

   

• другую функцию

   

Пример: линейная функция

Пусть:

• f(x) = 3x — 7

   

1) f(4x)

• f(4x) = 3(4x) — 7

   

• f(4x) = 12x — 7

   

2) f(2x — 5)

• f(2x — 5) = 3(2x — 5) — 7

   

• f(2x — 5) = 6x — 15 — 7

   

• f(2x — 5) = 6x — 22

   

3) f(x^2 — 3x + 4)

• f(x^2 — 3x + 4)

   

• = 3(x^2 — 3x + 4) — 7

   

• = 3x^2 — 9x + 12 — 7

   

• = 3x^2 — 9x + 5

   

Продвинутый пример (экзаменационный)

Пусть:

• f(x) = x^2 — 2x — 1

   

Найти:

• f(x^2 + 3)

   

Шаг 1. Заменяем каждый x

• f(x^2 + 3)

   

• = (x^2 + 3)^2 — 2(x^2 + 3) — 1

   

Шаг 2. Возводим в квадрат

• (x^2 + 3)^2

   

• = x^4 + 6x^2 + 9

   

Шаг 3. Раскрываем и упрощаем

• x^4 + 6x^2 + 9

   

  • 2x^2 — 6

     

  • 1

     

Шаг 4. Приводим подобные

• x^4 + 4x^2 + 2

   

Итоговые выводы

• f(x) — это формальная запись зависимости «вход → выход»

   

• x может представлять:

   

  • число

     

  • выражение

     

  • другую функцию

     

• Чтобы найти f(выражение), нужно заменить каждый x

   

• Функции с параметрами — стандартный формат GMAT

   

• Подстановка выражений — частый источник ошибок, требует аккуратности

   

Этот раздел завершает базовое понимание функциональной записи и подготавливает к более сложным задачам Quant-раздела. Далее рассмотрим необычные операторы, их также называют пользовательскими операторами.