Задачи на возраст

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Теперь, когда мы разобрали общие стратегии решения текстовых задач, можно перейти к конкретным типам. Первый из них — задачи на возраст.

Эти задачи описывают людей разного возраста. Их главная сложность в том, что математические соотношения задаются в разные моменты времени:

• одно соотношение — сейчас,
  
  
• другое — в прошлом или в будущем.
  
  

Именно это чаще всего и приводит к ошибкам.

Главная ловушка возрастных задач

Типичная ошибка — рассматривать возраст как фиксированное число, не привязанное ко времени.

Пример условия:

• сейчас возраст Steve равен половине возраста Tom;
  
  
• через 8 лет удвоенный возраст Tom будет на 5 больше, чем утроенный возраст Steve.
  
  

Многие студенты делают так:

• S — возраст Steve,
  
  
• T — возраст Tom,
  
  

и сразу пишут:

S = 1/2 T

2T = 3S + 5

 

❌ Это неверно, потому что второе соотношение относится к возрастам через 8 лет, а не к текущим возрастам.

Правильный принцип выбора переменных

В большинстве задач на возраст лучше всего:

выбирать переменные, обозначающие возраст прямо сейчас

Например:

• F — возраст Frida сейчас,
  
  
• E — возраст Edgar сейчас.
  
  

После этого:

• F — 5 — возраст Frida 5 лет назад,
  
  
• F + 7 — возраст Frida через 7 лет.
  
  

Таким образом, все остальные возрастные значения выражаются через текущий возраст.

Как составлять уравнения для других моментов времени

Пример:

Через 7 лет Edgar будет в два раза старше Frida.

Если:

• E — возраст Edgar сейчас,
  
  
• F — возраст Frida сейчас,
  
  

то через 7 лет:

• Edgar: E + 7
  
  
• Frida: F + 7
  
  

Уравнение:

E + 7 = 2(F + 7)

 

Практика: Steve и Tom

Условие

• сейчас возраст Steve равен половине возраста Tom;
  
  
• через 8 лет удвоенный возраст Tom будет на 5 больше, чем утроенный возраст Steve.
  
  

Вопрос: сколько лет Tom сейчас?

Шаг 1. Определяем переменные

Выбираем текущие возраста:

• T — возраст Tom сейчас,
  
  
• S — возраст Steve сейчас.
  
  

Первое условие:

T = 2S

 

(так удобнее, чем S = 1/2 T, потому что нет дробей)

Шаг 2. Записываем второе условие

Через 8 лет:

• возраст Tom: T + 8
  
  
• возраст Steve: S + 8
  
  

Удвоенный возраст Tom:

2(T + 8)

 

Утроенный возраст Steve плюс 5:

3(S + 8) + 5

 

Получаем уравнение:

2(T + 8) = 3(S + 8) + 5

 

Шаг 3. Подставляем и решаем

Подставляем T = 2S:

2(2S + 8) = 3(S + 8) + 5

 

Раскрываем скобки:

4S + 16 = 3S + 24 + 5

 

Упрощаем:

4S + 16 = 3S + 29

 

S = 13

 

Шаг 4. Отвечаем на вопрос

Возраст Tom:

T = 2S = 26

 

Ответ

Tom сейчас 26 лет.

Итог по задачам на возраст

• Основная сложность возрастных задач — разные моменты времени.
  
  
• Всегда чётко определяйте, к какому моменту относится переменная.
  
  
  1. не просто «F — возраст Frank»,
     
     
  2. а «F — возраст Frank сейчас».
     
     
• Почти всегда оптимально:
  
  
  1. взять переменные для текущих возрастов;
     
     
  2. использовать сложение и вычитание для возрастов в прошлом и будущем;
     
     
  3. составлять уравнения строго по времени, к которому относится условие.
     
     

Этот подход системно решает подавляющее большинство возрастных задач на GMAT и GRE.

Далее мы изучим задачи на движение, среднюю скорость и задачи с несколькими путешественниками.