Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Сложение, вычитание, умножение и деление дробей (GMAT/GRE Quant)

Эта глава — базовая, но на экзамене ошибки с дробями часто “съедают” время и приводят к неверным ответам. Ниже — практичные правила и приёмы, которые работают в задачах GMAT/GRE: сначала логика, потом вычисления, и всегда держим дроби в простом виде.

1) Сложение и вычитание дробей

Главное правило

Складывать/вычитать дроби напрямую можно только при общем знаменателе.

Если знаменатель общий:

a/c + b/c = (a+b)/c

a/c — b/c = (a-b)/c

Примеры:

1/5 + 3/5 = 4/5

9/13 — 6/13 = 3/13

2) Как найти общий знаменатель

Обычно в задачах знаменатели разные, например:

1/3 + 1/7

Нужно получить эквивалентные дроби с одинаковым знаменателем.

Метод 1 (универсальный): домножаем на “1”

1/3 = (1*7)/(3*7) = 7/21

1/7 = (1*3)/(7*3) = 3/21

Теперь складываем:

1/3 + 1/7 = 7/21 + 3/21 = 10/21

Пример 2

3/5 — 1/3

3/5 = 9/15   (умножили на 3/3)

1/3 = 5/15   (умножили на 5/5)

3/5 — 1/3 = 9/15 — 5/15 = 4/15

Формула (когда числа небольшие)

Для:

A/B + C/D

можно сделать так:

A/B = (A*D)/(B*D)

C/D = (C*B)/(D*B)

A/B + C/D = (A*D + C*B)/(B*D)

⚠️ Но: этот способ быстро даёт большие числа, если B и D крупные.

3) Умнее общего знаменателя: ищем НОК (LCD)

Если знаменатели “родственные”, можно домножать меньше.

Пример: общий знаменатель 24, а не 288

1/12 + 1/24

Если “по формуле” домножать:

• первую на 24/24

   

• вторую на 12/12
  получим громоздкие числа.

   

Но видно, что:

24 кратно 12

Значит достаточно:

1/12 = 2/24   (домножили на 2/2)

1/24 = 1/24

1/12 + 1/24 = 2/24 + 1/24 = 3/24 = 1/8

Пример: 14 и 21 → удобно через 42

1/14 — 1/21

Вместо огромных чисел замечаем:

НОК(14,21) = 42

Тогда:

1/14 = 3/42   (умножили на 3/3)

1/21 = 2/42   (умножили на 2/2)

1/14 — 1/21 = 3/42 — 2/42 = 1/42

Практический критерий:

Если в простом примере вы вдруг получили знаменатель “далеко за 100”, вероятно, вы выбрали не самый простой путь — попробуйте найти меньший общий знаменатель (НОК).

4) Умножение дробей

Базовое правило

Умножение — самое простое:

(a/b) * (c/d) = (a*c)/(b*d)

Пример:

2/7 * 2/3 = 4/21

5) “Сокращай перед умножением” — золотое правило

Это реально экономит время и снижает риск ошибок.

Что можно сокращать?

При умножении можно сокращать любой числитель с любым знаменателем, если есть общий множитель.

Пример:

(5/14) * (7/15)

Сокращаем до умножения:

• 5 сокращается с 15: 5 и 15 делятся на 5 → 1 и 3

   

• 7 сокращается с 14: 7 и 14 делятся на 7 → 1 и 2

   

Получаем:

(1/2) * (1/3) = 1/6

6) Дробь * целое число

Целое число всегда можно записать как дробь со знаменателем 1:

n = n/1

Тогда умножение становится обычным умножением дробей.

7) Деление дробей

Ключевое правило

Деление на дробь = умножение на обратную дробь (на “перевёртыш”):

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) * (d/c)

Пример 1

1/4 ÷ 3/2 = 1/4 * 2/3 = 2/12 = 1/6

Пример 2

3/20 ÷ 6/5 = 3/20 * 5/6

Дальше сокращаем (до умножения):

• 3 и 6 → делим на 3 → 1 и 2

   

Получаем:

(1/20) * (5/2) = 5/40 = 1/8

8) Частные случаи деления

(A) Целое число ÷ дробь

n ÷ (a/b) = n * (b/a)

Пример:

6 ÷ 3/4 = 6 * 4/3

Сокращаем 6 и 3:

6 = 2*3 → (2*3)*4/3 = 2*4 = 8

(B) Дробь ÷ целое число

(a/b) ÷ n = (a/b) * (1/n) = a/(b*n)

Пример:

3/5 ÷ 2 = 3/5 * 1/2 = 3/10

Формулы и правила (готово для Google Docs / WordPress)

1) Сложение/вычитание при общем знаменателе:

   a/c + b/c = (a+b)/c

   a/c — b/c = (a-b)/c

2) Общий знаменатель для A/B и C/D (если числа небольшие):

   A/B + C/D = (A*D + C*B)/(B*D)

3) Умножение дробей:

   (a/b) * (c/d) = (a*c)/(b*d)

4) Сокращение перед умножением:

   Можно сокращать любой числитель с любым знаменателем, если есть общий множитель.

5) Деление дробей:

   (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) * (d/c)

6) Целое число как дробь:

   n = n/1

7) Целое ÷ дробь:

   n ÷ (a/b) = n * (b/a)

8) Дробь ÷ целое:

   (a/b) ÷ n = (a/b) * (1/n) = a/(b*n)

Мини-резюме 

• Сложение/вычитание дробей требует общего знаменателя (лучше искать НОК, а не всегда перемножать знаменатели).

   

• Умножение дробей: перемножаем числители и знаменатели, но всегда сокращаем до умножения.

   

• Деление дробей: умножаем на обратную.

   

Целые числа удобно переводить в дроби вида n/1.

Следующими разделами будут смешанные числа, операции с пропорциями и задачи с дробями. На этом арифметика и дроби будут завершены.