Введение в задачи на движение

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Задачи на движение — одна из самых больших категорий текстовых задач на GMAT и GRE. В них рассматриваются движущиеся объекты и три связанные между собой величины:

• расстояние (D — distance),
  
  
• скорость (R — rate или speed),
  
  
• время (T — time).
  
  

Все они связаны одной базовой формулой:

D = R × T

 

Иногда эту формулу запоминают как “dirt equation” — вещи движутся по земле (dirt), и это помогает некоторым студентам легче удерживать формулу в памяти.

Единицы измерения — критически важны

Каждая из трёх величин имеет единицы измерения, и за ними нужно внимательно следить.

Принцип:

• если скорость задана в милях в час,
  
  
  • расстояние должно быть в милях,
    
    
  • время — в часах;
    
    
• если скорость в метрах в секунду,
  
  
  • расстояние — в метрах,
    
    
  • время — в секундах.
    
    

Если известны единицы расстояния и времени, они автоматически определяют единицы скорости.
Во всей задаче должны использоваться одни и те же единицы длины и времени.

Все формы формулы D = RT

Изначально формула решена относительно расстояния:

D = R × T

 

Но мы должны свободно переходить между всеми тремя формами:

• скорость:
  
  

R = D / T

 

• время:
  
  

T = D / R

 

Умение быстро выбирать нужную форму — базовый навык для задач на движение.

Базовая практика

Пример 1

С какой скоростью движется человек, если он прошёл 240 миль за 6 часов?

Дано:

• D = 240 миль
  
  
• T = 6 часов
  
  

Ищем скорость:

R = D / T = 240 / 6 = 40

 

Ответ: 40 миль в час.

Пример 2

Какое расстояние пройдёт объект со скоростью 8 метров в секунду за 40 секунд?

Дано:

• R = 8 м/с
  
  
• T = 40 с
  
  

D = R × T = 8 × 40 = 320

 

Единицы: метры.

Ответ: 320 метров.

Пример 3

Сколько времени нужно, чтобы пройти 300 футов со скоростью 20 футов в секунду?

Дано:

• D = 300 футов
  
  
• R = 20 футов/сек
  
  

T = D / R = 300 / 20 = 15

 

Ответ: 15 секунд.

Эти примеры слишком простые для полноценного тестового вопроса, но они показывают базовые вычисления, которые в реальных задачах приходится делать несколько раз подряд.

Несовпадающие единицы измерения

Иногда:

• в условии используются разные единицы,
  
  
• или спрашивается ответ в других единицах.
  
  

В этом случае необходимо привести единицы к одному виду.

Примеры стандартных преобразований:

• 1 час = 60 минут
  
  
• 1 фут = 12 дюймов
  
  

Экзамен обычно даёт редкие коэффициенты, если они не являются общеизвестными.

Преобразование единиц как умножение на 1

Любое преобразование единиц можно записать:

• либо как равенство,
  
  
• либо как дробь, равную 1.
  
  

Например:

1 = 1 фут / 12 дюймов

1 = 12 дюймов / 1 фут

 

Так как это равно 1, мы можем умножать или делить на такие дроби, не меняя значения величины, но меняя единицы.
Это полностью аналогично умножению дроби на 7/7.

Пример с переводом единиц

Лишайник на скале

Лишайник растёт со скоростью 4 см в год.
Сколько лет потребуется, чтобы он прошёл 30 метров, если скорость постоянна?

Дано:

• R = 4 см/год
  
  
• D = 30 м
  
  
• 1 м = 100 см
  
  

Переводим расстояние:

30 м × 100 см/м = 3000 см

 

Теперь используем формулу:

T = D / R = 3000 / 4 = 750

 

Ответ: 750 лет.

Пример: км/ч → м/с

Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч.
Сколько метров он проходит за 1 секунду?

Преобразования:

• 1 км = 1000 м
  
  
• 1 час = 3600 секунд (число полезно запомнить)
  
  

72 км/ч = 72,000 м / 3600 с

 

Сокращаем:

72,000 / 3600 = 20

 

Ответ: 20 метров в секунду.

Итог

• Формула D = R × T — основа всех задач на движение.
  
  
• Нужно свободно уметь решать её:
  
  
  • относительно расстояния,
    
    
  • скорости,
    
    
  • времени.
    
    
• Всегда следите за единицами измерения — они часто подсказывают верное решение.
  
  
• Преобразования единиц можно записывать как дроби, равные 1, и свободно умножать на них.
  
  

Заранее знайте стандартные преобразования и приводите все величины к одним и тем же единицам.

Далее нас ждет раздел задач о средней скорости.