Сценарий «как минимум»

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

В этом уроке мы разберём один из самых мощных тайм-сейвинг-приёмов в задачах на вероятность. Он основан на правиле дополнения и особенно важен для задач уровня GMAT/GRE.

Общая идея: правило дополнения как шорткат

Мы уже знакомы с правилом дополнения: иногда проще не считать напрямую то, что нас спрашивают, а:

1. найти вероятность того, что это не происходит,
   
   
2. вычесть её из 1.
   
   

Главная трудность обычно не в вычислениях, а в том, чтобы распознать, что такой подход вообще возможен.

Однако существует один случай, где распознавание всегда автоматическое.

Ключевой триггер: слова «как минимум»

Если в задаче по вероятности вы видите фразу:

«как минимум» (at least)

— используйте правило дополнения.

На экзамене почти всегда встречается форма:

«как минимум один» (at least one)

Это огромный подарок со стороны теста.

Почему это работает

Рассмотрим общий пример.
Пусть выполняется n одинаковых испытаний (монеты, кости и т.п.).

Число успехов может быть:

• 0,
  
  
• 1,
  
  
• 2,
  
  
• …
  
  
• n.
  
  

Фраза «как минимум один успех» означает:

• 1 или больше,
  
  
• то есть все случаи, кроме нуля.
  
  

Следовательно:

дополнение к «как минимум один» = «ни одного»

И это всегда ровно один случай.

Формула шортката

P(как минимум один успех) = 1 − P(ни одного успеха)

Вместо сложных вычислений мы считаем одну простую вероятность.

Пример экзаменационного уровня

Условие:
Честную шестигранную кость бросают 8 раз.
Какова вероятность того, что как минимум один раз выпадет 6?

Почему прямой путь — ловушка

Если решать напрямую, «как минимум один» включает:

• ровно 1 шестёрку,
  
  
• ровно 2 шестёрки,
  
  
• …
  
  
• ровно 8 шестёрок.
  
  

Это 8 биномиальных расчётов, которые затем нужно сложить.
Такое решение может занять 10–15 минут и почти гарантированно привести к ошибке.

Эффективное решение (правило дополнения)

Шаг 1. Находим дополнение

Дополнение к «как минимум одна шестёрка» — это:

ни одной шестёрки

Шаг 2. Вероятность «не 6» за один бросок

Вероятность, что на одном броске не выпала 6:

5/6

Шаг 3. Вероятность «ни одной шестёрки» за 8 бросков

Броски независимы, значит:

(5/6)^8

Шаг 4. Используем правило дополнения

P(как минимум одна 6) = 1 − (5/6)^8

На экзамене ответ часто оставляют именно в таком виде, без численного вычисления.

Почему это невероятно эффективно

• вместо 8 биномиальных расчётов — одна строка;
  
  
• минимальный риск ошибки;
  
  
• экономия огромного количества времени.
  
  

Экзаменационные выводы

• Фраза «как минимум» — это автоматический сигнал использовать правило дополнения.
  
  
• Особенно мощный случай: «как минимум один».
  
  
• Дополнение к «как минимум один» всегда равно «ни одного».
  
  
• Формула:
  P(как минимум один) = 1 − P(ноль).
  
  
• Это один из самых надёжных и быстрых приёмов в Probability на GMAT/GRE.
  
  

В следующих уроках мы расширим эту идею и посмотрим, как проводить анализ вероятностных задач.