Десятичные дроби: разряды и операции

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Десятичные дроби на GMAT встречаются постоянно — в процентах, отношениях, задачах на скорость/работу, статистике и Data Insights. Ошибки чаще всего возникают не из-за «сложной математики», а из-за непонимания разрядов и неверного обращения с десятичной точкой.

Эта глава даёт системную базу:

• что такое разряд (place value),
• как читать десятичные дроби через степени 10,
• как складывать, вычитать, умножать и делить десятичные числа без калькулятора.

Если вы уже уверенно делаете все операции с десятичными дробями — можно использовать раздел как краткое повторение. Если чувствуете неуверенность — это один из тех фундаментальных блоков, который окупается очень быстро.

1) Разрядность: как «устроено» число

Пример с целым числом

Число 256 означает:

• 2 сотни
• 5 десятков
• 6 единиц

Запись в разложенном виде:

256 = 2·100 + 5·10 + 6·1

Главный закон разрядов

• шаг влево умножает разряд на 10
• шаг вправо делит разряд на 10

Это правило полностью продолжается после десятичной точки.

2) Что означают цифры после точки

Цифры справа от точки — это доли единицы:

• 0.1 = одна десятая
• 0.01 = одна сотая
• 0.001 = одна тысячная
• 0.0001 = одна десятитысячная
  и т.д.

То же самое через степени 10:

• 0.1 = 10^(-1)
• 0.01 = 10^(-2)
• 0.001 = 10^(-3)
• 0.0001 = 10^(-4)

3) Нули: что важно помнить

Ноль слева от точки — просто формат

0.01 и .01 — одно и то же число (в учебных материалах лучше писать с нулём для ясности).

Сколько нулей должно быть?

Правило простое:

• 10^4 = 10,000 → 4 нуля
• 10^(-4) = 0.0001 → 4 знака после точки

Количество нулей в 10^k соответствует количеству знаков после точки в 10^(−k).

Нули справа «ничего не меняют»

3.75 = 3.750 = 3.7500

На GMAT не используются значащие цифры в научном смысле — эти нули считаются несущественными.

4) Сложение и вычитание десятичных дробей

Правило одно:

выравниваем десятичные точки, затем считаем как обычно.

Пример (схематично):

 12.45

+  3.07

= 15.52

То же для вычитания:

 10.30

—  2.75

=  7.55

5) Умножение десятичных дробей

Алгоритм

1. посчитать количество знаков после точки у каждого множителя
2. сложить эти количества → столько знаков будет в произведении
3. убрать точки и перемножить как целые
4. поставить точку в ответе

Формула-правило

Если:

• у a — m знаков после точки
• у b — n знаков после точки

то у a·b будет m+n знаков после точки.

Пример из текста

6.25 × 0.048

Знаки после точки:

• 6.25 → 2 знака
• 0.048 → 3 знака
  Итого: 2 + 3 = 5 знаков.

Теперь умножаем как целые:

625 × 48 = 30,000

Ставим 5 знаков после точки:

30,000 → 0.30000 = 0.3

Ответ:

6.25 × 0.048 = 0.3

📌 Практический совет для GMAT: при умножении часто выгодно применять doubling & halving (удвоение/половинивание), чтобы быстро получить «круглые» числа (как в примере 625×48).

6) Степени десятичных дробей (как частный случай умножения)

Пример:

0.03^3 = 0.03 × 0.03 × 0.03

Каждое 0.03 имеет 2 знака после точки → всего 2+2+2 = 6 знаков.
Без точек: 3^3 = 27.

Значит ответ — число, где 27 стоит так, чтобы было 6 знаков после точки:

0.000027

7) Деление десятичных дробей

Главная идея

сдвигаем десятичную точку в делимом и делителе одинаково, пока делитель не станет целым числом.

Почему это работает:

• сдвиг точки на 1 вправо = умножение на 10
• если умножили и числитель, и знаменатель на 10 → дробь не изменилась
  (фактически умножили на 10/10 = 1)

Алгоритм

Пусть нужно разделить:

a ÷ b

Сдвигаем точку вправо k раз так, чтобы b·10^k стал целым:

a ÷ b = (a·10^k) ÷ (b·10^k)

Дополнительный ускоритель: узнаваемые дроби

Если делитель — “круглая” доля (например, 0.25 = 1/4), можно быстро упростить:

• деление на 0.25 эквивалентно умножению на 4.

Формулы и правила (готовый блок для вставки)

Разрядность

256 = 2·100 + 5·10 + 6·1

Десятичные разряды = отрицательные степени 10

0.1 = 10^(-1)

0.01 = 10^(-2)

0.001 = 10^(-3)

0.0001 = 10^(-4)

Нули справа не меняют число

a = a.0 = a.00 = a.000

Сложение/вычитание

выравниваем десятичные точки → считаем

Умножение

(десятичные знаки в a) + (десятичные знаки в b)

= (десятичные знаки в a·b)

Деление (сдвиг точки)

a ÷ b = (a·10^k) ÷ (b·10^k)

где b·10^k — целое число

Полезные эквиваленты

÷ 0.1  = × 10

÷ 0.01 = × 100

÷ 0.001 = × 1000

÷ 0.25 = × 4

÷ 0.5 = × 2

Типичные ошибки на GMAT

❌ Путать разряды (сотые/тысячные)
❌ Умножать десятичные дроби, забыв про количество знаков после точки
❌ При делении двигать точку только в одном числе
❌ Бояться “маленьких” чисел: 0.048 и 48 — это одно и то же после правильного учёта разрядов

Краткое резюме

• десятичные дроби — это продолжение разрядной системы вправо
• справа от точки — отрицательные степени 10
• при сложении/вычитании главное — совместить точки
• при умножении главное — сумма знаков после точки
• при делении — двигаем точку в обоих числах одинаково, пока делитель не станет целым

Далее изучим умножение и деление на 10 и степени 10.